I limiti La definizione: Il significato della definizione La verifica Applicazione: la ricerca degli asintoti di una funzione
La definizione: Data una funzione , con punto di accumulazione per il dominio, si dice che: ( l reale) se per ogni ε esiste un intorno I di tale che: ε per ogni
Il significato della definizione Fissiamo nel grafico un ε . Individuiamo un intorno I di tale che: f (x) ] l – ε ; l + ε [ per ogni
Se riduciamo ε siamo costretti a scegliere un intorno di più piccolo.
Più piccolo scegliamo ε, più piccolo diventa l’intorno I. In ogni caso troviamo sempre un intorno di tale che per ogni x di quell’intorno f (x) è molto vicino a l.
La verifica Verifichiamo che Tracciamo il grafico Proviamo che scelto ε esiste un intorno I di 3 per ogni x del quale (escluso al più 3) vale: ε
ε ε 3 – ε < x < 3 + ε In conclusione: considerato l’intorno di 6: ]6 – ε ; 6 + ε [ esiste l’intorno I di 3: I = ]3 – ε ; 3 + ε [ i cui punti x (x ≠ 3) hanno immagine nell’intorno di 6.
La ricerca degli asintoti di una funzione Asintoto La retta r è detta asintoto del grafico della funzione f (x) se: la distanza di un generico punto P(x; f (x)) da tale retta tende a zero quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a infinito, cioè: per x → ∞ oppure per f (x) → ∞ .
L’asintoto verticale Data la funzione y = f (x), se: si dice che la retta x = c è asintoto verticale del grafico della funzione.
L’asintoto orizzontale Data la funzione y = f (x), se: si dice che la retta y = q è asintoto orizzontale del grafico della funzione.
L’asintoto obliquo Data la funzione y = f (x), se: si dice che la retta y = mx + q è asintoto obliquo del grafico della funzione.