Teoria dei Sistemi di Trasporto Elementi di teoria del deflusso ininterrotto

Teoria del deflusso ininterrotto Ipotesi semplificative iniziali (alcune da generalizzare in seguito) Deflusso ininterrotto Moto non condizionato da intersezioni, caselli, stazioni, ecc; (a distanza da eventuali fonti di condizionamento) Unici condizionamenti sono interni al flusso di veicoli Deflusso monodimensionale Moto lungo la ascissa curvilinea Trascurate le componenti trasversali al moto prevalente Deflusso omotachico Tutti i veicoli hanno la stessa velocità Deflusso stazionario Il campo di moto è indipendente dal tempo Deflusso omogeneo Veicoli uguali o con differenze fisiche e prestazionali trascurabili

Teoria del deflusso ininterrotto Alcune grandezze microscopiche i +1 = veicolo leader i = veicolo follower v = velocità (omotachica) dei veicoli L = lunghezza (omogenea) dei veicoli d = distanza inter-veicolare sp = spacing = distanza spaziale coda-coda (o testa-testa) L d sp i+1 i v x = sezione di osservazione

Teoria del deflusso ininterrotto h= headway All’istante t il veicolo i è in xi, all’istante t+h sarà in xi+1 (dove ora è il veicolo i+1) g = gap o = occupazione h spazio o g xi+1 L i+1 sp i+1 i d v xi i tempo t t+h 𝑣 𝑡 = 𝑥 (t) 𝑎 𝑡 = 𝑥 (t) ( = 0) Δ𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑖+1 𝑡 − 𝑣 𝑖+1 𝑡 = 𝑠𝑝 𝑡 ( = 0)

Teoria del deflusso ininterrotto Unità di misura (esempio) h = headway [ore], [secondi], … sp = spacing [chilometri], [metri], … v = velocità [Km/h], [m/s], … ℎ= 𝑠𝑝 𝑣 Flusso (portata) = numero di veicoli transitanti nella unità di tempo (f=q) [veic/h] Per l’ipotesi di stazionarietà ed omotachicità I veicoli si presentano in ogni sezione intervallati di un tempo pari ad h=headway (es.: h=1/1000 [h]) passa un veicolo ogni millesimo di ora passano mille veicoli in un’ora 𝑞= 1 ℎ

Teoria del deflusso ininterrotto Densità = k = numero di veicoli per unità di lunghezza [veic/Km] Per l’ipotesi di stazionarietà ed omotachicità I veicoli sono tutti spaziati di una quantità pari ad sp = spacing (es: sp = 1/20 [Km]) è presente un veicolo ogni 50 metri (ogni 20-esimo di chilometro) sono presenti 20 veicoli al kilometro 𝑘= 1 𝑠𝑝

Teoria del deflusso ininterrotto ℎ= 𝑠𝑝 𝑣 Equazione fondamentale del deflusso La abbiamo ricavata analiticamente per un caso molto particolare Sistema omotachico Sistema stazionario 𝒒= 𝑣 𝑠𝑝 =𝒌 𝒗 𝑞= 1 ℎ 𝑘= 1 𝑠𝑝

Teoria del deflusso ininterrotto Determinazione della capacità La capacità è la portata massima Data una velocità, corrisponde alla densità massima (e quindi allo spacing minimo) Calcoliamo lo spacing minimo nell’ipotesi di distanza di sicurezza rispetto all’arresto istantaneo del veicolo leader sppr = spazio di percezione e reazione spa = spazio di arresto L = lunghezza del veicolo 𝒒=𝒌 𝒗 𝐶𝑎𝑝= 𝑘 𝑚𝑎𝑥 𝑣= 𝑣 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 𝑑 𝑠𝑖𝑐𝑢𝑟 +𝐿= 𝑠𝑝 𝑝𝑟 + 𝑠𝑝 𝑎 +𝐿

Teoria del deflusso ininterrotto spr = spazio di percezione e reazione sa = spazio di arresto L = lunghezza del veicolo 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 𝑠 𝑝𝑟 + 𝑠 𝑎 +𝐿 𝑠 𝑝𝑟 =𝑣∙ 𝑡 𝑝𝑟 tpr = tempo di percezione e reazione am = accelerazione (negativa) massima 𝑠 𝑎 =− 1 2 ∙ 𝑣 2 𝑎 𝑚 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑣∙ 𝑡 𝑝𝑟 − 1 2 ∙ 𝑣 2 𝑎 𝑚 +𝐿 Se si potesse imporre la velocità di deflusso, la capacità sarebbe funzione della velocità che si realizza L’andamento non è monotono Esempio tpr = 1 (s) ; am = -9.81 (m/s2); L = 4 (m)

Teoria del deflusso ininterrotto Ipotesi più realistica L’arresto del leader non è istantaneo Il follower applica (con ritardo, tpr) una decelerazione minore del leader (α·am<0) 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 spmin sL v i 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 + 𝑠 𝐿 = 𝑠 𝑝𝑟 + 𝑠 𝑎 ′ +𝐿 i+1 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 𝑠 𝑝𝑟 + 𝑠 𝑎 ′ +𝐿− 𝑠 𝐿 spr s’a L sF L 𝑠 𝐿 =− 1 2 𝑣 2 𝑎 𝑚 𝑡0=− 𝑣 𝑎 𝑚 𝑠 𝑝𝑟 =𝑣∙ 𝑡 𝑝𝑟 𝑠 𝑎 ′ =𝑣∙ 𝑡0 −𝑡𝑝𝑟 + 1 2 𝛼∙ 𝑎 𝑚 ∙ 𝑡0 −𝑡𝑝𝑟 2 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 =− 1 2 𝑣 2 𝑎 𝑚 + 1 2 𝛼∙ 𝑎 𝑚 ( 𝑣 𝑎 𝑚 + 𝑡𝑝𝑟)2+L 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 1 2 𝛼∙ 𝑎 𝑚 ( 𝑣 𝑎 𝑚 + 𝑡𝑝𝑟)2− 1 2 𝑣 2 𝑎 𝑚 +L Esempio α = 0.75

Teoria del deflusso ininterrotto Influenza del tempo di percezione e reazione

Teoria del deflusso ininterrotto Influenza della ridotta decelerazione del leader (fissato tpr=0) 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 1 2 𝑣 2 𝑎 𝑚 ∙(𝛼−1) +L Sistemi continui tpr = 0, α = 1 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝐿 Indipendente dalla decelerazione

Teoria del deflusso ininterrotto Sistemi continui ettometrici (tappeti mobili) L = 1 metro (comfort) 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝐿 Capacità elevate (più di una corsia autostradale) Prestazioni limitate (ettometriche)

Teoria del deflusso ininterrotto Alcune considerazioni in campo ferroviario Veicoli = convogli (L=300 metri) Ipotesi di massima sicurezza (distanza rispetto ad ostacolo fisso o a leader con arresto istantaneo) Ipotesi di «marcia a vista» 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 = 𝑠 𝑝𝑟 + 𝑠 𝑎 +𝐿 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑣∙ 𝑡 𝑝𝑟 − 1 2 ∙ 𝑣 2 𝑎 𝑚 +𝐿 Esempio tpr = 1 (s) ; am = -1 (m/s2); L=300 (m), Capienza convoglio = 600 (pax)

Teoria del deflusso ininterrotto Per velocità elevate dei convogli e tratte «normali» La «marcia a vista» non è immaginabile Sistema di circolazione Es.: sistema a «blocco ferroviario» (a tre segnali) 𝑣 = velocità di progetto della sezione di blocco (max velocità dei treni che percorrono la sezione?) V G R G R 𝐶𝑎𝑝= 𝑣 𝑠𝑝 𝑚𝑖𝑛 sa V G R G R 𝑠 𝑎 =− 1 2 ∙ 𝑣 2 𝑎 𝑚 sa sa/2+L/2 sa/2-L/2 Spmin= 2 sa

Teoria del deflusso ininterrotto Se la velocità di diversi convogli è molto differenziata… Doppio Rosso Il giallo serve per dare l’ordine di portarsi alla velocità di progetto I sistemi moderni tendono ad un sistema diverso: il “blocco continuo” (come se fosse possibile la marcia a vista) V G R R R G R R 2 sa (sa+L)/2 spmin

Teoria del deflusso ininterrotto ΔX spazio Non omotachico Non stazionario (No sorpasso) ξi ΔT tempo τi

Teoria del deflusso ininterrotto tempo spazio dt dx t1 x2 ΔX ΔT {…, i, …} n veicoli (foto aerea all’istante t1) {…, j, …} m veicoli (spire, radar, telecamere, nella sezione x2) 𝑘= 𝑛 ΔX Non omotachico Non stazionario S1 = Intervallo infinitesimo di tempo di osservazione (dt) per tratta di lunghezza Δx S2 = intervallo infinitesimo di tratta osservata (dx) per un tempo Δt S1 𝑞= 𝑚 ΔT S2

Teoria del deflusso ininterrotto 𝑖=1 𝑛 𝑠𝑝 𝑖 ≈ΔX 𝑠𝑝 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑠𝑝 𝑖 S1 𝑘= 𝑛 ΔX ≈ 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑠𝑝 𝑖 = 1 𝑠𝑝 spi La densità dipende dal tronco su cui è misurata (punto medio ed estensione) e dal tempo Un valore tipico di densità è dell’ordine di grandezza di 100 veicoli a chilometro per corsia x1 𝑘=𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑛∙𝑑𝑡 ΔX∙𝑑𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 1 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 1 𝑘 𝑥,𝑡,𝑆 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑘 𝑥,𝑡 = lim ΔX→0 𝑘 𝑥,𝑡,𝑆

Teoria del deflusso ininterrotto 𝑘 𝑥,𝑡,𝑆 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 τj dx vj S2 𝜏 𝑗 = 𝑑𝑥 𝑣 𝑗 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 2 = 𝑗=1 𝑚 𝜏 𝑗 = 𝑗=1 𝑚 𝑑𝑥 𝑣 𝑗 =𝑑𝑥 𝑗=1 𝑚 1 𝑣 𝑗 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑆 2 =𝑑𝑥∙Δ𝑇   𝑘 𝑥,𝑡 = lim ΔT→0 𝑘 𝑥,𝑡,𝑆

Teoria del deflusso ininterrotto hj 𝑞= 𝑚 ΔT Il flusso (portata) dipende dalla sezione e dall’istante di tempo (ed estensione temporale) in cui è misurato Un valore tipico di flusso è dell’ordine di grandezza di 2000 veicoli/ora per corsia 𝑗=1 𝑚 ℎ 𝑗 ≈ΔT ℎ = 1 𝑚 𝑗=1 𝑚 ℎ 𝑗 𝑞=𝑞 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 𝑞= 𝑚 ΔT ≈ 𝑚 𝑗=1 𝑚 ℎ 𝑗 = 1 ℎ 𝑞 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 = 𝑚∙𝑑𝑥 ΔT∙𝑑𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆 2 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 2 𝑞 𝑥,𝑡,𝑆 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑞 𝑥,𝑡 = lim ΔT→0 𝑞 𝑥,𝑡,𝑆

Teoria del deflusso ininterrotto dt 𝑞 𝑥,𝑡,𝑆 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 vi S1 ξi 𝜉 𝑗 = 𝑣 𝑗 ∙𝑑𝑡 x1 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆= 𝑖=1 𝑛 𝑣 𝑖 ∙𝑑𝑡 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑆=𝑑𝑡∙Δ𝑋 𝑞 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑖=1 𝑛 𝑣 𝑖 Δ𝑋 𝑞 𝑥,𝑡 = lim ΔX→0 𝑞 𝑥,𝑡,𝑆

Teoria del deflusso ininterrotto Velocità (spaziale) media (v) Definizione Ricordando che Si ottiene la legge fondamentale del deflusso 𝑣 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆 1 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 1 𝑞 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛 𝑆 1 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 1 𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑆 1 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 1 𝑣 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑞 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 𝑞=𝑘∙𝑣 𝑞 𝑥,𝑡 = lim ΔX→0 𝑞 𝑥,𝑡,𝑆 𝑘 𝑥,𝑡,𝑆

Teoria del deflusso ininterrotto 𝑣 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑞 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = 𝑖=1 𝑛 𝑣 𝑖 Δ𝑋 ∙ ΔX 𝑛 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑣 𝑖 Velocità (spaziale) media = media delle velocità istantanee dei veicoli in un tratto di spazio centrato su una sezione stradale data 𝑞 𝑥,𝑡 = lim ΔX→0 𝑞 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1 = lim ΔT→0 𝑞 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 𝑘 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 𝑣 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 = 𝑞 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 𝑘 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 = m ΔT ∙ ΔT 𝑗=1 𝑚 1 𝑣 𝑗 = 1 1 𝑚 ∙ 𝑗=1 𝑚 1 𝑣 𝑗 Velocità media = media armonica delle velocità osservate in una sezione data durante un intervallo di tempo centrato su un istante dato 𝑗=1 𝑚 𝑣 𝑗 ≠ 1 1 𝑚 ∙ 𝑗=1 𝑚 1 𝑣 𝑗 N.B.: la velocità temporale media non è la velocità media dell’equazione fondamentale

Teoria del deflusso ininterrotto hj L Data una sezione di conteggio, è facile misurare la occupazione (temporale) del generico veicolo o g g = gap o = occupazione Occupazione relativa = aliquota del tempo di osservazione occupata dal passaggio di veicoli Si potrebbe dimostrare che… Se tutti i veicoli avessero eguale lunghezza (L), o con riferimento ad una lunghezza media In realtà la formula deve essere usata con molta cautela 𝑏 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 = 1 Δ𝑇 𝑗=1 𝑚 𝑜 𝑗 𝑏 𝑥 2 , 𝑡 2 , 𝑆 2 =𝐿∙𝑘 𝑥 1 , 𝑡 1 , 𝑆 1

Teoria del deflusso ininterrotto Abbiamo ricavato la equazione fondamentale del deflusso Sia per un sistema omotachico Che per un sistema non omotachico 𝑞=𝑘∙𝑣 L’equazione fondamentale è un legame tra le tre entità fondamentali q, k e v Relazioni tra coppie di entità possono essere ricavate sperimentalmente e approssimatamene tradotte in leggi analitiche v kjam v0 k v = v(k) v (km/h) k (veic/km) Greenshield (1934)

Teoria del deflusso ininterrotto Legge di Greenshield 𝑣 𝑘 = 1− 𝑘 𝑘 𝑗𝑎𝑚 𝑣 0 𝑘 𝑣 = 1− 𝑣 𝑣 0 𝑘 𝑗𝑎𝑚 Sostituendo nella equazione fondamentale del deflusso si ottiene La relazione tra flusso e densità 𝑞= 𝑣 0 𝑘− 𝑘 2 𝑘 𝑗𝑎𝑚 La relazione tra flusso e velocità 𝑞= 𝑘 𝑗𝑎𝑚 𝑣− 𝑣 2 𝑣 0 v q vc kjam kc v0 Cap k q = fk(k) q = fv(v) v = v(k)

Teoria del deflusso ininterrotto Possono essere osservate convalide sperimentali v v (km/h) v0 vc q (veic/h) q Cap v q (veic/h) k (veic/km) q kjam kc Cap k

Teoria del deflusso ininterrotto Ramo stabile un aumento di densità comporta diminuzione di velocità aumento del flusso l’aumento di densità prevale sulla diminuzione di velocità e tende a determinare una riduzione dell’headway tra i veicoli, e, quindi, un aumento del flusso. Ramo instabile un aumento ulteriore della densità comporta una diminuzione notevole della velocità È dovuta ad un eccessivo condizionamento reciproco dei veicoli il fenomeno prevale e determina una riduzione dell’headway che induce una diminuzione di flusso Passaggio stabile a instabile vc; kc, Cap

Teoria del deflusso ininterrotto In generale il flusso q non può essere adottato per descrivere le condizioni di deflusso La densità (o la velocità) invece descrive sempre la condizione di traffico prevalente in modo univoco Condizioni instabili si accompagnano a fenomeni di stop-and-go essendo vicini alla densità critica un qualsiasi disturbo (aleatorio) si propaga velocemente determinando una diminuzione delle velocità ed un ulteriore aumento di densità verso l’accodamento completo ed il blocco appena la perturbazione si dissipa il flusso si riporta velocemente in condizioni di densità e velocità stabili , ma si reinstabilizza alla prima occasione Lo stop-and-go è incompatibile con la stazionarietà del deflusso Se il sistema è in condizioni stazionarie, l’unico ramo compatibile ed osservabile è quello stabile il flusso può essere utilizzato come unica variabile descrittiva del deflusso

Teoria del deflusso ininterrotto Considerando il solo ramo stabile La relazione 𝑞= 𝑘 𝑗𝑎𝑚 𝑣− 𝑣 2 𝑣 0 tra flusso e velocità può essere invertita Con riferimento al ramo stabile, si può dimostrare che: 𝑣= 𝑣 0 2 ∙ 1+ 1− 𝑞 𝐶𝑎𝑝 1 2 A lunghezza di arco data Si considera il tempo di percorrenza

Teoria del deflusso ininterrotto Considerando il solo ramo stabile Relazione sperimentale per il deflusso ininterrotto Bureau of Public Roads (U.S.) Curva di deflusso BPR 𝑡(𝑓)= 𝑡 0 ∙ 1+𝛼 𝑓 𝐶𝑎𝑝 𝛽 Alfa e beta tabellati su manuali Es.: alfa = 2, beta = 4