Principi di meccanica quantistica

Dualismo onda-particella Con l'espressione dualismo onda-particella (o dualismo onda-corpuscolo) ci si riferisce al fatto, espresso all'interno del principio di complementarità, che le particelle elementari, come l'elettrone o il fotone, mostrano una duplice natura, sia corpuscolare sia ondulatoria. Con l'espressione dualismo onda-particella (o dualismo onda-corpuscolo) ci si riferisce al fatto, espresso all'interno del principio di complementarità, che le particelle elementari, come l'elettrone o il fotone, mostrano una duplice natura, sia corpuscolare sia ondulatoria. Le particelle elementari mostrano una doppia natura: sia ondulatoria (diffrazione) che corpuscolare (effetto fotoelettrico)

Doppia natura della luce Con Con l'espressione dualismo onda-particella (o dualismo onda-corpuscolo) ci si riferisce al fatto, espresso all'interno del principio di complementarità, che le particelle elementari, come l'elettrone o il fotone, mostrano una duplice natura, sia corpuscolare sia ondulatoria. l'espressione dualismo onda-particella (o dualismo onda-corpuscolo) ci si riferisce al fatto, espresso all'interno del principio di complementarità, che le particelle elementari, come l'elettrone o il fotone, mostrano una duplice natura, sia corpuscolare sia ondulatoria.

De Broglie: come la luce, tutta la materia ha natura corpuscolare e ondulatoria l = h/p (Einstein si oppose a questa visione che precludeva il determinismo: Dio non gioca a dadi) Heisenberg « Nell’ambito della realtà le cui connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi ad una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l’accadere (all’interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso » Esperimento di Compton   L’esperimento evidenziò che la radiazione uscente veniva deviata in tutte le direzioni e che la frequenza dell’energia in uscita era molto più piccola di quella del fascio in entrata: i singoli fotoni urtano contro gli elettroni della materia e, colpendoli, sono deviati e perdono energia (si comportavano come palle da biliardo) 

Applicazioni il laser, il microscopio elettronico la risonanza magnetica nucleare; molti calcoli di chimica computazionale si basano su questa teoria; La superconduttività e la semiconduttività.

La crittografia quantistica Molti sforzi sono stati fatti per sviluppare una crittografia quantistica, che garantirebbe una trasmissione sicurissima dell'informazione in quanto l'informazione non potrebbe essere intercettata senza essere modificata. Si utilizza questo principio per realizzare un cifrario perfetto del tipo One Time Pad, senza il problema di dover scambiare la chiave (anche se lunga quanto il messaggio) necessariamente su un canale sicuro. La prima rete a crittografia quantistica funzionante è Qnet

Come si rappresenta un sistema fisico? La funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. È spesso una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo e il suo significato è quello di ampiezza di probabilità. Il suo modulo quadro quindi rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni.

I postulati della meccanica quantistica Postulato 1 Ogni stato di un sistema costituito da una particella è completamente descritto da una funzione d’onda Y(x,y,z,t) che è chiamata funzione di stato di sistema. Essa fissa il comportamento nello spazio e nel tempo della particella quantomeccanica (elettrone, protone, neutrone, mesone, ecc.). La funzione d’onda Y(x,t) descrive una particella con un solo grado di libertà di movimento. Se il sistema è costituito da più particelle la funzione di stato del sistema è funzione delle coordinate di tutte le particelle e del tempo cioè Y(x1,y1,z 1,…..xn,yn,zn,t).

Postulato 2 Il prodotto Y*(x,t)•Y(x,t), che è un numero reale, rappresenta la probabilità di trovare al tempo t la particella quantomeccanica all’interno dell’intervallo x ↔ x+dx. Per questo la probabilità di trovare la particella nello spazio che va da – ∞ fino a + ∞, indicherà la certezza che matematicamente è rappresentata dal numero 1 (= 100%), quindi Funzione d’onda normalizzata non si può più dire che la particella occupa una porzione ben precisa P(x), ma che la particella è contenuta entro un elemento di volume dV, centrato attorno a P, con una probabilità pari a Y*(x,t)•Y(x,t)dV. Limitazioni alla funzione: es. la funzione Y(x,t) deve tendere a zero quando x→ ± ∞ perchè altrimenti l’integrale della Y*(x,t)•Y(x,t)dτ sarebbe infinito.

Postulato 3 La funzione d’onda Y(x,t) e la sua derivata (∂/∂x)Y(x,t) devono essere funzioni finite e ad un unico valore rispetto alla variabile x e devono essere continue in un mezzo isotropo, cioè In altre parole l’autofunzione Y(x,t) deve essere continua e differenziabile in un mezzo isotropo.

Postulato 4 Gli operatori sostituiscono le variabili dinamiche quali posizione, momento della quantità di moto p, energia totale del sistema, ecc.. Gli operatori agiscono sulla funzione Y(x,t) trasformandola in un’altra funzione. La meccanica quantistica impiega gli operatori piuttosto che le variabili dinamiche.

Etotale = Ecinetica + Epotenziale = + V(x) Etotale = + V(x) se p = mv Quindi l’operatore corrispondente all’Etotale Equazione di Schroedinger E totale = (equazione base della quantomeccanica). Dal punto di vista matematico essa è un’equazione differenziale lineare alle derivate seconde parziali.

Postulato 5 Il valore medio o valore di aspettazione <x> di una variabile dinamica è calcolato, una volta sia nota la funzione d’onda normalizzata Y(x,t), con il seguente integrale <> =

Grafico della funzione d’onda monodimensionale . E’ anche mostrata la funzione potenziale corrispondente, essa serve per portare la particella verso x= 0, cioè verso il minimo di energia. E’ interessante notare che il potenziale V(x) che agisce sulla particella impone una forma ben precisa alla funzione d’onda y(x).

La funzione normalizzata è

Il valore medio di x il valore medio di px

l = numero quantico secondario (o azimutale) Equazione d’onda di Schrődinger (1925) (Teoria quanto-meccanica) H y = E y y = funzione d’onda associata all’elettrone H = operatore Hamiltoniano (operatore hermitiano) E = energia totale dell’elettrone (AUTOVALORE) L’equazione ammette solo alcuni ben definiti valori di energia E i , per ognuno dei quali corrisponde una funzione d’onda y i Ogni funzione d’onda y i è caratterizzata da tre parametri, chiamati numeri quantici: n = numero quantico principale l = numero quantico secondario (o azimutale) ml = numero quantico magnetico

 Principio di indeterminazione di Heisenberg Gli operatori hermitiani hanno un ruolo molto importante nella meccanica quantistica perché i loro autovalori sono reali, cioè se a è un operatore hermitiano deve essere a y(x) = a y(x) Teorema 1: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali. Teorema 2: Le autofunzioni j(x) e y(x) di un operatore hermitiano a sono tra loro ortogonali se i rispettivi autovalori a e b sono diversi. Teorema 3a: Se una funzione y(x) è simultaneamente autofunzione di due operatori diversi a e b con autovalori a e b perfettamente definiti, allora a e b devono commutare. Teorema 3b: Se a e b sono due operatori che commutano esiste una funzione y(x) che è simultaneamente una autofunzione di entrambi gli operatori.  Principio di indeterminazione di Heisenberg

Equazione di Schroedinger (1926) Se si desidera una soluzione che rappresenti onde stazionarie (come quelle di una corda fissata agli estremi), la Y(x,t) dovrà avere la forma Y(x,t) = y(x)·f(t) in cui sono state separate la variabile spazio e la variabile tempo, in quanto y(x) dipende solo dalla variabile spazio x e f(t) dipende solo dal tempo Poiché x e t sono variabili completamente indipendenti, l’equazione può essere vera solo se entrambe le parti sono costanti

Costante = E integrando Se E è reale allora la funzione d’onda ha un ampiezza y(x) ed una fase data da Si è così dimostrato che la costante E altro non è che il valore medio dell’energia.

Tornando all’equazione di Schroedinger

Ĥ y(x) = E y(x) Ĥ = Singola particella che si muove lungo l’asse x Ĥ = Nello spazio 3D L’operatore hamiltoniano è un operatore hermitiano perché il suo autovalore indica l’energia della particella, che è una quantità osservabile