MATEMATICA IV

FUNZIONI ESPONENZIALI RICHIAMI SULLE POTENZE Il concetto di potenza, che inizialmente si introduce nel caso in cui l’esponente è un numero naturale, si può estendere prima agli esponenti interi negativi e poi agli esponenti razionali Potenze ad esponente intero negativo       con a ∊ R ≠0, b ≠0 , n ∊ N Potenze ad esponente razionale     con a ∊ R >0, m ∊ N, n ∊ N* E’ importante ricordare che nella definizione di potenza ad esponente razionale, la base deve essere un numero positivo

FUNZIONI ESPONENZIALI Potenze ad esponente irrazionale Un qualunque numero irrazionale pur non potendo essere espresso da una frazione, può essere approssimato sia per eccesso che per difetto mediante numeri razionali. Ciò consente di dare un significato alle potenze con base positiva ed esponente irrazionale            

FUNZIONI ESPONENZIALI In sintesi: una potenza con base positiva ha significato sia se l’esponente è un numero razionale che irrazionale e quindi, si può considerare una potenza con base positiva ed esponente reale qualsiasi Le proprietà delle potenze già viste il primo anno, valgono anche per le potenze ad esponente reale aα ∙ aβ = aα+β aα: aβ = aα-β (aα)β = a α∙ β aα ∙ bα = (a∙ b)α aα : bα = (a:b)α con b≠0

FUNZIONI ESPONENZIALI La funzione esponenziale costituisce il modello matematico di numerosi fenomeni di varia natura (fisici, chimici, biologici, economici…) nei quali al crescere indefinitamente, in valore assoluto della variabile indipendente x corrisponde un rapido aumento o un rapido avvicinarsi allo zero della variabile dipendente y . Si parla, rispettivamente di crescita esponenziale o di decadimento esponenziale Se a è un numero reale positivo, esiste per qualsiasi valore di x∊ R il numero a x ed è definita la funzione f: x→ a x di equazione y=a x Nel caso particolare di a=1 si ha y=1x = 1 che è l’equazione di una funzione costante per qualsiasi valore di x ∊ R ; escluso questo caso particolare, si ha che: y=a x con a>0 e a ≠ 1 è l’equazione della funzione esponenziale di base a Escludendo il caso a=1, relativamente ai valori della base a, possono presentarsi due casi: a>1 0<a<1

FUNZIONI ESPONENZIALI Consideriamo un caso particolare di funzione esponenziale con base a>1: y=2x e riportiamo nel piano cartesiano alcuni punti le cui coordinate sono riportate in tabella x y= 2x P (x; y) 20=1 A(0;1) 1 21=2 B(1;2) -1 2-1=1/2 C (-1;1/2) 2 22=4 D(2;4) -2 2-2=1/4 E(-2;1/4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base a>1: la funzione è definita per tutti i valori dell’asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l’asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è crescente (al crescere dei valori della x crescono anche i valori della y)

FUNZIONI ESPONENZIALI   x P (x; y) A(0;1) 1 -1 C (-1;2) 2 -2 E(-2;4) Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione esponenziale con base 0<a<1: la funzione è definita per tutti i valori dell’asse reale ( cioè per tutti i valori di x); la funzione è sempre positiva (cioè Il grafico sta tutto sopra l’asse x); per x=0 la funzione passa per il valore di ordinata y =1; la funzione è decrescente (al crescere dei valori della x decrescono i valori della y)

FUNZIONI ESPONENZIALI   Definizione : si definisce equazione esponenziale un’equazione in cui l’incognita figura nell’esponente di almeno una potenza. La forma canonica è la seguente:        

FUNZIONI ESPONENZIALI Definizione : si definisce disequazione esponenziale una disequazione in cui l’incognita figura nell’esponente di almeno una potenza. Forme canoniche:                                

FUNZIONE LOGARITMICA       Valgono le seguenti proprietà fondamentali:      

FUNZIONE LOGARITMICA Il logaritmo del prodotto di due o più numeri positivi è la somma dei logaritmi dei singoli fattori     Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è la differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore     Il logaritmo della potenza di un numero positivo è il prodotto tra l’esponente e il logaritmo della base della potenza     Cambiamento di base    

FUNZIONE LOGARITMICA Caso a>1   Caso a>1   Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base a>1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa crescente Interseca l’asse x nel punto (0 ; 1) Non interseca mai l’asse y (l’asse y è asintoto verticale per valori di x vicini a 0)

FUNZIONE LOGARITMICA Caso 0<a<1 Dal grafico si osservano le caratteristiche della funzione che valgono in generale, per ogni funzione logaritmica con base 0<a<1 la funzione è: definita per tutti i valori positivi di x; x>0 sia positiva che negativa decrescente Interseca l’asse x nel punto (0 ; 1) Non interseca mai l’asse y (l’asse y è asintoto verticale per valori di x vicini allo 0)  

FUNZIONE LOGARITMICA Si definisce equazione logaritmica un’equazione in cui l’incognita figura nell’ argomento di uno o più logaritmi. La forma canonica è la seguente:   N.B: occorre verificare l’accettabilità delle soluzioni trovate. Sono accettabili tutti i valori che rendono gli argomenti dei logaritmi positivi Si definisce disequazione logaritmica un’equazione in cui l’incognita figura nell’ argomento di uno o più logaritmi. Forme canoniche sono le seguente:   Se la base a del log è a >1   Se la base a del log è 0<a<1 N.B: al posto del simbolo < o > può figurare anche ≤ oppure ≥

La soluzione è 4<x<7 FUNZIONE LOGARITMICA ESEMPIO 1   Condizioni di accettabilità L’unica soluzione ammessa è x=3 ESEMPIO 2   ESEMPIO 3 La soluzione è 4<x<7   È la condizione di accettabilità

GONIOMETRIA Definizione: si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: si dice arco (di circonferenza) l’intersezione tra una circonferenza e un angolo al centro della circonferenza stessa. Definizione: Si definisce grado la 360° parte dell’angolo giro. Consideriamo un angolo al centro α di due circonferenze C e C1 di raggi r e r1. Detti l e l1 gli archi corrispondenti, si ha che   Si definisce radiante l’angolo al centro di una circonferenza che corrisponde ad un arco di lunghezza uguale al raggio Se g è la misura in gradi di un angolo e α la misura in radianti dello stesso angolo, si ha:   da cui  

GONIOMETRIA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA: è una circonferenza che ha origine nel centro degli assi cartesiani e raggio unitario e nella quale si assume come senso di rotazione positivo quello antiorario. A partire dalla circonferenza goniometrica si definiscono le funzioni principali: seno (indicato con senα); coseno (indicato con cosα) e tangente (indicato con tgα)   Dalla definizione data è evidente che le funzioni -1≤ senα ≤ 1 e -1 ≤cosα ≤ 1 mentre la funzione tgα può assumere un qualunque valore reale

GONIOMETRIA y= senα y= cosα y= tgα

Formule goniometriche GONIOMETRIA Formule goniometriche formule fondamentali Possono essere considerate un sistema di due equazioni . Se è noto il valore di una delle funzioni goniometriche , il sistema può essere risolto considerando come incognite i valori delle due restanti   Si definisce cotangente dell’angolo α, e si indica con ctgα la funzione reciproca della tangente   Archi associati            

Formule goniometriche GONIOMETRIA Formule goniometriche   Addizione Sottrazione   Duplicazione   Bisezione Parametriche  

TRIGONOMETRIA E’ quella parte della matematica che si occupa di risolvere i triangoli Risolvere un triangolo significa determinare gli elementi incogniti quando siano noti tre elementi di cui almeno uno è un lato Considerando un triangolo rettangolo, valgono le relazioni seguenti:             In generale si può dire che il seno, il coseno e la tangente di un dato angolo sono dati rispettivamente dalle relazioni :      

TRIGONOMETRIA In un triangolo qualsiasi valgono le seguenti relazioni e teoremi. Detti a, b, g, gli angoli opposti rispettivamente ai lati a, b, e c del triangolo L’area del triangolo A è data da:   Teorema del coseno (o di Carnot) Teorema dei seni    

CALCOLO COMBINATORIO Permette di calcolare in quanti modi si possono combinare, seguendo certi criteri, gli elementi di un dato insieme. I possibili modi di raggruppare permettono di distinguere i raggruppamenti in permutazioni, disposizioni e combinazioni Permutazioni semplici: dati n elementi distinti, le permutazioni semplici Pn di questi elementi sono tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che ognuno contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l’ordine secondo il quale gli n elementi si susseguono. Si calcola con la relazione:     La figura rappresenta le permutazioni di 3 elementi A, B, C. Sono possibili 6 raggruppamenti : 6 =3! = 3·2·1

CALCOLO COMBINATORIO     o anche, usando la forma fattoriale    

CALCOLO COMBINATORIO Combinazioni semplici: le combinazioni Cn,k di n elementi distinti, di classe k, con k≤n sono i sottoinsiemi di k elementi distinti di un dato insieme di n elementi   O anche, usando la forma fattoriale