Complemento: Derivate ed integrali semplici Fisica Generale I Fabio Garufi

Derivata Si definisce derivata di una funzione della variabile x f(x), il limite del rapporto incrementale per l’incremento della variabile che tende a 0: 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 = lim 𝑥 2 → 𝑥 1 𝑓 𝑥 2 −𝑓( 𝑥 1 ) 𝑥 2 − 𝑥 1 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑓(𝑥) ∆𝑥 Se rappresentiamo la funzione f(x) in funzione di x, su un grafico cartesiano, la derivata è la pendenza della tangente alla curva nel punto 𝑥 1 . Dalla definizione segue immediatamente che la derivata di una costante è nulla e la derivata di una retta parallela all’asse y è ∞. y 𝑓(𝑥 2 ) 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥 1 𝑥 2 x

Derivate di funzioni semplici 𝑑 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑑 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 Per es: 𝑑 𝑒 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =−2𝑥 𝑒 − 𝑥 2 𝑑𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑑𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑔(𝑥) 2 𝑑 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 = tg 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑓 𝑥 = arcsin 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 1 1− 𝑥 2 𝑓 𝑥 = arc𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =− 1 1− 𝑥 2

Derivate di ordine superiore La derivata della derivata di una funzione è la derivata seconda e si indica con: 𝑓 ′′ x = 𝑑 2 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑥 2 In generale si indica la derivata di ordine n con 𝑓 (𝑛) x = 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑 𝑥 𝑛 Le derivate rispetto al tempo si indicano con uno o più punti su simbolo della funzione: 𝑓 𝑡 = 𝑑 2 𝑓(𝑡) 𝑑 𝑡 2

Formula di Taylor Sia y=f(x) una funzione che abbia le derivate fino all’ordine n in un intervallo contenente un punto di ascissa x=a; Nell’intorno del punto x=a, la funzione y può essere sviluppata in una somma di potenze di (x-a) con coefficienti proporzionali alle corrispondenti derivate: y=𝑓 𝑎 + 𝑥−𝑎 𝑓 ′ 𝑥=𝑎 + + 1 2! 𝑓 ′′ 𝑥=𝑎 𝑥−𝑎 2 +…+ 1 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥=𝑎 𝑥−𝑎 𝑛 = = 𝑘=0 𝑛 1 𝑘! 𝑓 𝑘 𝑥 𝑥=𝑎 (𝑥−𝑎) 𝑘 La formula di Taylor, per a=0 si chiama formula di Taylor/McLaurin

Le derivate nello studio delle funzioni Una funzione è crescente se 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 >0 𝑝𝑒𝑟 ℎ> 0; e decrescente se <0, sempre per h>0; Dunque, visto che h>0, se 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ >0, la funzione è crescente. Il limite per ℎ→0 del rapporto, è proprio la derivata f’(x) di f(x); dunque il segno della derivata in un punto, indica se in quel punto la funzione è crescente o decrescente Se f(x) è una funzione continua e derivabile, nei punti di massimo e minimo (gli estremi), anche relativi, della funzione, la derivata si annulla. Anche nei punti di flesso orizzontale la derivata si annulla, la condizione dunque è necessaria ma non sufficiente.

La derivata seconda nello studio delle funzioni L’annullarsi della derivata prima non è sufficiente a determinare se si tratta di un massimo un minimo o un flesso orizzontale. Al passaggio di un estremo, la derivata prima cambia segno: se passa da positiva a negativa è un massimo, al contrario, un minimo, se non cambia segno dopo essere passata da 0, è un flesso. La variazione relativa della derivata prima è la derivata seconda, dunque il segno della derivata seconda mi dice come varia: positiva=> minimo, negativa, massimo, nulla punto di flesso.

Integrale L’integrale indefinito è l’operazione inversa della derivata; L’integrale fra i punti 𝑥 1 e 𝑥 2 si dice definito ed è l’area sottesa dalla curva f(x) e l’asse delle x; La funzione F(x) la cui derivata è f(x) si chiama primitiva di f(x): F’(x)=f(x) Poiché la derivata di una costante è nulla anche F(x)+c è una primitiva fi f(x), per qualunque valore di c indipendente da x. Si scrive, dunque: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 +𝑐 L’integrale definito tra i punti 𝑥 1 e 𝑥 2 vale: 𝑥 1 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 2 −𝐹( 𝑥 1 ) y 𝑦(𝑥 2 ) 𝑦(𝑥 1 ) 𝑥 1 𝑥 2 x

Tabella integrali notevoli

Integrazione per parti Se nell’espressione integranda riconosciamo che un fattore è la derivata di una funzione: 𝑢(𝑥) 𝑑𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥, allora dalla regola di derivazione dei prodotti, discende direttamente: 𝑢 𝑑𝑣=𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 Per es ln 𝑥 𝑑𝑥 ;𝑢= ln 𝑥 ;𝑑𝑣=𝑑𝑥;𝑣=𝑥;𝑑𝑢= 𝑑𝑥 𝑥 ⇒ ln 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 =𝑥 ln 𝑥 −𝑥+𝑐