Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE DI TRE PIANI ESEMPI APPLICATIVI Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/09 da Cipressi Sara Jane della classe 3°C del Liceo Artistico Statale «G.Misticoni» di Pescara per la materia :“Discipline geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (1) La videolezione sviluppa quattro esempi applicativi riferiti alla ricerca e alla verifica del punto d’intersezione di tre piani Esempio 1 : Intersezione di tre piani generici Assegnati i seguenti piani (Es. 01) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a(Ð p1+; Ðp2+) b(Ð p1-; Ðp2+) g(Ð p1+; Ðp2+) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico ottenendo il risultato della figura dell’ Es.01-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (2) Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1r r’ (t2a Çt2g) T2r r” Passo 2: intersezione tra b e g (t1b Çt1g) T1s s’ (t2b Çt2g) T2s s” Passo 3: intersezione tra r ed s Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del secondo diedro avendo il valore dell’aggetto negativo. (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=-x; P”=y) (r” Ç s”) P”

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (3) Verifica Con la figura dell’ Es.01-b si dimostra che si ottiene lo stesso risultato (il medesimo punto P (P’=-x; P”=y) nello stesso diedro) individuando la retta s(T1s; T2s; s’; s’’) come intersezione di a con b e non di b con g.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (4) Esempio 2: Intersezione tra due piani generici ed un piano proiettante in prima proiezione nel ID Assegnati i seguenti piani (Es. 02) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a (Ð p1+; Ðp2+) b (^ p1+; Ðp2+) g (Ð p1+; Ðp2+) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani Per ricercare detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico-descrittivo ottenendo il risultato della figura dell’ Es.02-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (5) Passo 1: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1r r’ (t2a Çt2b) T2r r” Passo 2: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1s s’ (t2a Çt2g) T2s s” Passo 3: intersezione tra r ed s Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del primo diedro avendo i valori di aggetto e quota positivi. (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=x; P”=y) (r” Ç s”) P”

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (6) Verifica Con la figura dell’ Es.02-b si dimostra che si ottiene lo stesso risultato (il medesimo punto P (P’=x; P”=y) nello stesso diedro) individuando la retta s(T1s;T2s; s’; s’’) come intersezione di g con b e non di a con il piano g.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (7) Esempio 3: Intersezione tra due piani proiettanti in prima ed un piano generico parallelo alla linea di terra Assegnati i seguenti piani (Es. 03) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a (Ð p1+; Ðp2+) b (^ p1+; Ðp2+) g (^p1+; Ðp2+) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani Per ricercare la collocazione di detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico-descrittivo ottenendo il risultato della figura dell’Es.03-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (8) Passo 1: intersezione tra a e g (t1a Çt1g) T1s s’ (t2a Çt2g) T2s s” Passo 2: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1r r’ (t2a Çt2b) T2r r” Passo 3: intersezione tra r ed s Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del primo diedro. (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=x; P”=y) (r” Ç s”) P”

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (9) Verifica Con la figura dell’ Es.03-b si dimostra che si ottiene lo stesso risultato (il medesimo punto P (P’=x; P”=y) nello stesso diedro) individuando la retta s(T1s;T2s; s’; s’’), proiettante in prima proiezione, come risultato dell’intersezione dei due piani proiettanti b e g

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (10) Esempio 4: Intersezione tra tre piani generici variamente collocati nello spazio dei diedri Assegnati i seguenti piani (Es. 04) con le relative caratteristiche geometrico-descrittive: a (Ð p1+; Ðp2-) b (Ðp1+; Ðp2+) g (Ðp1+; Ðp2+) occorre ricercare e definire il punto d’intersezione PÎ(aÇbÇg) tra i tre piani. Per ricercare la collocazione di detto punto si sviluppano i relativi passaggi dell’algoritmo grafico-descrittivo ottenendo il risultato della figura dell’Es.04-a

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (11) Passo 1: intersezione tra a e b (t1a Çt1b) T1s s’ (t2a Çt2b) T2s s” Passo 2: intersezione tra g e b (t1g Çt1b) T1r r’ (t2g Çt2b) T2r r” Passo 3: intersezione tra r ed s Dalle intersezioni delle rispettive proiezioni delle due rette si ricavano le proiezioni del punto che, in questo caso, risulta essere un punto P collocato nello spazio del quarto diedro. (r’ Ç s’) P’ (r Ç s) P (P’=x; P”=-y) (r” Ç s”) P”

Geometria descrittiva dinamica Intersezione di tre piani: esempi applicativi (12) Verifica Con la figura dell’ Es.04-b si dimostra che si ottiene lo stesso risultato (il medesimo punto P (P’=x; P”=-y) nello stesso diedro) individuando la retta r(T1r; T2r; r’; r’’) generica nel quarto diedro come risultato dell’intersezione dei due piani generici a e g

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi