FUNZIONI MATEMATICHE DANIELA MAIOLINO

Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l’una rispetto l’altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria dell’analisi delle funzioni è utilizzata in tutte le materie scientifiche Dall’esame del grafico di una funzione si possono dedurre molte proprietà come ad esempio: se in un certo intervallo la funzione è sempre crescente o decrescente; per quali valori delle variabili è definita; quali sono gli eventuali massimi e minimi che essa assume; in quali punti interseca gli assi cartesiani; se è simmetrica rispetto agli assi o all’origine degli stessi; altro.

DEFINIZIONE DI FUNZIONE MATEMATICA   è una relazione di tipo matematico (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione di radice, potenza, ecc..), che ad un qualunque valore x (variabile indipendente), fa corrispondere una ed una sola y (variabile dipendente).  A X f Y B Ad ogni x di A corrispondono immagini y di B.

FUNZIONI BIUNIVOCHE INVERTIBILI LA FUNZIONE BIUNIVOCA è quella funzione in cui si verifica che ad ogni y corrisponde una ed una sola x come ad ogni x corrisponde una ed una sola y. A f B x y f -1 Le funzioni biunivoche sono invertibili LA FUNZIONE INVERSA della f(x), detta f-1(x), è la funzione che agli elementi dell'insieme B associa uno ed un solo elemento dell'insieme A. 

DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE L'insieme A, costituito da tutti i valori che può assumere la variabile indipendente x, si chiama DOMINIO della funzione o CAMPO DI ESISTENZA e dipende dal tipo di legame (espressione matematica) che c'è tra la x e la y. Mentre le immagini y corrispondenti alle x di A sono contenuti in un insieme B che si chiama CODOMINIO. Il DOMINIO di una funzione è costituito dall'insieme dei valori reali che può assumere la x affinché si possa determinare il corrispondente valore della y. X f Y DOMINIO CODOMINIO

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Le funzioni analitiche, che noi studiamo, si possono dividere in due grandi classi:   ALGEBRICHE (quando il legame tra x e y si riduce ad una equazione algebrica di grado qualunque): - f. razionali intere y=x3+3x2-7 - f. razionali fratte y = - f. irrazionali y= TRASCENDENTI (funzione non algebrica): - f. goniometriche y= senx f. logaritmiche y=log x (a>0; a=1) - f. esponenziali y= ax

DEFINIZIONE DI FUNZIONE PARI - DISPARI Definizione di funzioni pari: una funzione si dice pari quando f(x)=f(-x) qualunque x reale; tali funzioni sono simmetriche rispetto all'asse y. Definizione di funzioni dispari:   una funzione si dice dispari quando f(-x)= - f(x) qualunque x reale; tali funzioni sonno simmetriche rispetto all'origine degli assi. y y x x f. pari f. dispari

GRAFICO DI UNA FUNZIONE Fissato nel piano un sistema di riferimento XOY cartesiano ortogonale e data la y=f(x) definita in un certo intervallo di estremi (a;b), attribuendo alla x dei valori, di volta in volta, variabili tra a e b possiamo calcolare, in base al legame espresso nella funzione, la y corrispondente. Ogni coppia x e y individua nel piano un punto della curva. Per x= x1--------->f(x1)=y1-----------> P1(x1;y1) Per x= x2--------->f(x2)=y2-----------> P2(x2;y2) . Per x= xn--------->f(xn)=yn-----------> Pn(xn;yn)   La curva passante per tutti i punti calcolati rappresenta il grafico della funzione espressa dalla legge y=f(x). y P1 1 P2 Pn x

INTERSEZIONI CON GLI ASSI Le coordinate dei punti di intersezione del grafico di una funzione con gli assi cartesiani si determinano risolvendo l’equazione che si ottiene ponendo nella equazione y=f(x) x=0 (per l’intersezione con l’asse y) y=0 (per l’intersezione con l’asse x) y Y x (x2;0) (x1;0) (0;y1)

DETERMINAZIONE DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Per determinare il segno di una funzione, ovvero per quali valori della x essa assume valori positivi o negativi all'interno del C.E., basta risolvere la disequazione f(x)>0.

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI ESISTENZA Funzioni razionali intere Sono definite qualunque valore assume la x (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire qualunque è il valore della x, e quindi si può determinare sempre il corrispondente y). Y= 4x4-3x2+1 C.E.  x  R 

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI ESISTENZA Funzioni razionali fratte   Sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che annullano il denominatore (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire solo se il denominatore è diverso da zero, in caso contrario non esiste il corrispondente y). C.E.  x  R-{1} 1) (1; 

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI ESISTENZA Funzioni irrazionali In questo caso bisogna vedere se l'indice del radicale è pari o dispari. Se è pari allora sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che rendono il radicando negativo; se è dispari sono definite qualunque valore assume la x. Quindi:   radicale con indice pari C.E. si ha risolvendo RADICANDO > 0 radicale con indice dispari C.E. si ha x R C.E.  x  R1) (1; 

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI ESISTENZA Funzioni composte   Quando la funzione è composta, sarà necessario risolvere un sistema che includerà tutte le imposizioni fatte per ciascun tipo di funzione.