Programmazione Bilivello Lezione 2

Definizioni e Proprietà: Soluzione Ottimistica/Pessimistica

Soluzione Ottimistica/Pessimistica se il reaction set R(x) non è single-value la soluzione potrebbe essere non stabile o non esistere affatto BLP può non avere soluzione anche se le funzioni sono continue e limitate approccio ottimistico  cooperazione approccio pessimistico  avversione al rischio

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Teorema di Dempe sull’esistenza della soluzione ottimistica e pessimistica: Si consideri un problema di programmazione bilivello con variabili positive. Sia la regione S non vuota e compatta, se esiste una soluzione (x,y) tale che G(x,y) ≤ 0 con y ϵ R(x) e x ≥ 0, allora la formulazione ottimistica del problema ammette almeno una soluzione ottima. Non vale altrettanto per la formulazione pessimistica.

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Esempio 2 (Bard):

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Reaction set R(x): sostituendo nella f.o. upper level:

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x ottimistico pessimistico

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio ottimistico soluzione ottima

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio pessimistico soluzione ottima non esiste

Soluzione Ottimistica/Pessimistica approssimazioni e stabilizzazioni (Dempe) perturbazione della f.o. leader (Bialas e Karwan, Ben-Ayed): ipotesi semi-cooperazione (verosimili in alcune applicazioni)

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Si consideri il seguente problema bilivello. La soluzione ottima è stabile?

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Test di stabilità Data una soluzione , si risolve il seguente problema: Se il valore della funzione obiettivo leader non cambia la soluzione è stabile.

Definizioni e Proprietà: BLP e Ottimizzazione Biobiettivo

BLP e Pareto Ottimalità una soluzione ottima non è necessariamente Pareto-ottimale nel caso in cui ,y) = c1x + d1y e f(x,y)= c2x + d2y se d1=αd2 allora la soluzione è Pareto-ottimale (Macotte, Savard)

BLP e Pareto Ottimalità C D

BLP e Pareto Ottimalità C D

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo C D regione delle soluzioni dominanti

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo non esiste corrispondenza diretta fra i due problemi: limiti del GRID Search di Bard  euristica F(x,y) = c1x + d1y f(x, + d2y M(x,y,λ) = λ·F(x,y) + (1-λ)·f(x,y) metodo dei pesi per la costruzione della frontiera efficiente del problema bicriterio  se la soluzione ottima non è Pareto-ottimale non viene trovata

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo C D

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo C D vincoli corrispondenti alla frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi

Metodi Risolutivi

Classificazione Generale Secondo le classificazioni di Colson et alii i principali metodi risolutivi si possono distinguere in: ricerca dei punti estremi (Kth-best) trasformazione del problema (b&b, PCPA, LCP) condizioni di ottimalità (metodi di discesa) funzioni di penalità euristiche e metaeuristiche (GABBA, SABBA, trust-region)

Metodi Risolutivi: BLP Lineare

BLP Lineare

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Fortuny-Amat e McCarl, 1981 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT  single-level con vincoli bilineari di complementarità si linearizzano i vincoli introducendo variabili binarie uno dei metodi più utilizzati per la facilità implementativa

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione branch & bound sulle variabili zi ottimo globale limiti: uso della big-M che riduce l’efficienza aumento del numero di vincoli e variabili

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Nel caso lineare

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Bard e Moore, 1990 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT  single-level con vincoli bilineari di complementarità si ignorano i vincoli di complementarità se ui gi(x,y) ≠ 0 branch & bound su ui e gi(x,y) ottimo globale

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione PCPA, Bialas, Karwan e Shaw, 1984 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT si perturba opportunamente il vincolo si introduce il vincolo F(x,y) ≤ α al posto della f.o leader H matrice definita negativa, ε sufficientemente piccolo

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione fase 1 del metodo del simplesso garantendo complementarità (variabili artificiali zi) aggiornamento iterativo del parametro α convergenza all’ottimo globale (non dimostrato, e infatti…) Ben-Ayed e Blair (1989) dimostrano che l’ottimo non sempre viene trovato  euristica

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Hansen, Jaumard e Savard, 1992 condizioni di ottimalità di tipo logico

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione calcolo di penalità (simplesso duale) stima di bound validi branch & bound con regole di branching differenti (sulle variabili α1, sulle relazioni logiche…) ottimo globale attualmente uno dei migliori algoritmi esistenti

BLP Lineare: Metodi con Funzioni di Penalità Anandalingam e White, 1990 funzione di penalità sul duality gap del problema follower

BLP Lineare: Metodi con Funzioni di Penalità se il BLP ammette una soluzione ottima (x*,y*) con R(x*) single value, allora esiste un K* per il quale la soluzione (x(K),y(K),u(K)) è BLP-ottima per ogni K ≥ K* se d1 = αd2 con α ≥ 0 allora K*=0 F(x(K),y(K)) è monotonicamente non-decrescente e il duality gap monotonicamente non-crescente all’aumentare di K ottimo locale

BLP Lineare: Metodi con Funzioni di Penalità Anandalingam e White, 1993 viene opportunamente modificato l’approccio con metodo di penalità ottimo globale

BLP Lineare: Euristiche e Meta-euristiche GRID Search, Bard, 1983 il BLP viene trasformato in un problema bicriterio single level F(x,y)  M(x,y,λ) = λ si determina λmax per cui y(λmax) ϵ R(x(λmax)) soluzione ottima solo se Pareto ottimale

BLP Lineare: Euristiche e Meta-euristiche D frontiera efficiente

BLP Lineare: Euristiche e Meta-euristiche D soluzione ottima soluzione GRID-search

BLP Lineare: Euristiche e Meta-euristiche SABBA, Anandalingam, Mathieu, Pittard e Sinha, 1989 Simulated Annealing Based Bilevel programming Algorithm soluzioni generate in modo random ogni soluzione è BLP-ammissibile (y ϵ R(X)) probabilità di accettare soluzioni peggiorative exp (-∆F/T) con la temperatura T via via ridotta soluzione ammissibile