LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE La Trigonometria LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE

A sinistra: Ipparco di Nicea e a destra Claudio Tolomeo Introduzione La Trigonometria è la parte della matematica che permette di calcolare i valori dei lati e degli angoli di un triangolo quando siano noti tre dei suoi elementi, tra cui almeno un lato. Pertanto ricordiamo la formula per capire di quanti elementi abbiamo bisogno per risolvere una figura, ed è la seguente: 2𝑛−3 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑙𝑎𝑡𝑖 La parola ‘’Trigonometria’’ deriva dal greco trigonon (triangolo) e metròn (misura): misurazione del triangolo . La nascita di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e Claudio Tolomeo. A sinistra: Ipparco di Nicea e a destra Claudio Tolomeo

Primo teorema dei triangoli rettangoli Andiamo ora a vedere i teoremi per poter risolvere i triangoli, partiamo dal primo teorema dei triangoli rettangoli che enuncia: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto al cateto oppure al prodotto tra la misura dell’ipotenusa e il coseno dell’angolo adiacente al cateto. DIMOSTRAZIONE: Scriviamo a cosa è uguale il seno e ricaviamo la formula inversa: 𝑠𝑒𝑛α= 𝐵𝐶 𝑂𝐵 → 𝐵𝐶 = 𝑂𝐵 ∙𝑠𝑒𝑛α Seno dell’angolo opposto al cateto Cateto Ipotenusa

Dimostriamo la seconda parte dell’enunciato però stavolta scriviamo a cosa è uguale il coseno e ricaviamo la formula inversa: 𝑐𝑜𝑠α= 𝑂𝐶 𝑂𝐵 → 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 ∙𝑐𝑜𝑠α Coseno dell’angolo adiacente Cateto Ipotenusa

Secondo teorema dei triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto al cateto che vogliamo calcolare oppure è uguale al prodotto tra la misura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente al cateto che vogliamo calcolare. DIMOSTRAZIONE Anche qui scriviamo a cosa è uguale la tangente e ricaviamo la formula inversa: 𝑡𝑔α= 𝐴𝑇 𝑂𝐴 → 𝐴𝑇 = 𝑂𝐴 ∙𝑡𝑔α Tangente dell’angolo opposto al cateto che vogliamo misurare Cateto Cateto

Dimostriamo la seconda parte dell’enunciato però stavolta scriviamo a cosa è uguale la cotangente e ricaviamo la formula inversa: 𝑐𝑜𝑡𝑔α= 𝐷𝐸 𝑂𝐸 → 𝐷𝐸 = 𝑂𝐸 ∙𝑐𝑜𝑡𝑔α Cateto Cateto Cotangente dell’angolo adiacente al cateto che vogliamo misurare

Teorema dei Seni o di Eulero In un triangolo qualsiasi la misura dei lati è proporzionale ai seni degli angoli opposti, inoltre questo rapporto è uguale a due volte il raggio della circonferenza circoscritta: Dimostrazione: Tesi: 𝑎 𝑠𝑒𝑛α = 𝑏 𝑠𝑒𝑛β = 𝑐 𝑠𝑒𝑛γ =2𝑅 Dato il triangolo ABC, tracciamo la circonferenza sapendo che il centro è dato dal punto di intersezione degli assi e dal punto A tracciamo il diametro. Poi notiamo che l’angolo γ in C è uguale all’angolo γ in D perché insistono sullo stesso arco AB e anche l’angolo β in B e uguale all’angolo β in C perché insistono entrambi sull’arco AC.

Inoltre notiamo anche che i triangoli ACD e ABD sono retti perché insistono su una semicirconferenza. Dopo aver fatto queste osservazioni consideriamo il triangolo ABD e calcoliamo AB e quindi 𝐴𝐵 =𝐴𝐷 ∙𝑠𝑒𝑛𝛾. Facciamo le sostituzione e otteniamo 𝑐=2𝑅∙𝑠𝑒𝑛𝛾, dividiamo tutto per sen γ e otteniamo 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛾 =2𝑅. Ripetiamo lo stesso procedimento per calcolare AC nel triangolo ACD: 𝐴𝐶 =2𝑅∙𝑠𝑒𝑛𝛽→𝑏=2𝑅∙𝑠𝑒𝑛𝛽→ 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛽 =2𝑅 Per la proprietà transitiva otteniamo 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛾 =2𝑅 Analogamente per dimostrare anche il lato a basta tracciare il diametro in B o C e facendo io calcoli si ottiene 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 =2𝑅 . Questo teorema si può applicare se conosciamo: 2 lati e un angolo non compreso o 2 angoli un lato.

Teorema del coseno o di Carnot Consideriamo AHC e calcoliamo l’ ipotenusa con Pitagora 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐻 2 + 𝐻𝐶 2 . Ora sostituiamo i valori di AH e HC rispetto al triangolo ABH ed’ otteniamo: 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2 β+ (𝐵𝐶−𝐵𝐻) 2 Facciamo le sostituzioni ed otteniamo: 𝑏 2 = 𝑐 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2 β+ (𝑎−𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛽) 2 Svolgiamo i calcoli ed’ otteniamo: 𝑏 2 = 𝑐 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2 β+ 𝑎 2 + 𝑐 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽−2𝑎𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛽 Raccogliamo C 𝑏 2 = 𝑐 2 ∙( 𝑠𝑒𝑛 2 β+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽)+ 𝑎 2 −2𝑎𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛽 Alla fine otteniamo: 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 −2𝑎𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛽 Questo è uguale a 1 per la 1°relazione fondamentale Teorema del Coseno Si può applicare se conosciamo : due lati e l’angolo compreso oppure i tre lati

Formula dell’area di un triangolo Consideriamo il triangolo ABC e scriviamo la formula dell’area: 𝒜= 𝐴𝐻∙𝐵𝐶 2 Però considerando il triangolo ABH il lato AH può essere anche espresso come 𝐴𝐵∙𝑠𝑒𝑛𝛽. Quindi la formula diventa: 𝒜= 𝐴𝐵∙𝐵𝐶∙𝑠𝑒𝑛𝛽 2 Quindi l’area di un triangolo e uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso diviso 2. Mentre per i parallelogrammi è uguale a lato x lato x il seno dell’angolo compreso.

Teorema della corda Dopo aver disegnato la corda AB e uno degli La misura di una corda è uguale al prodotto tra la misura del diametro e il seno di uno degli angoli che insiste sull’arco corrispondente alla corda. Dimostrazione Tesi 𝑨𝑩=𝟐𝒓∙𝒔𝒆𝒏𝜸 Dopo aver disegnato la corda AB e uno degli infiniti angoli che insiste su di essa, tracciamo il diametro da B che arriva nel punto D della circonferenza e lo congiungiamo con A. Poi si nota che gli angoli 𝜸 sono uguali perché insistono sullo stesso arco e notiamo che ABD e un triangolo rettangolo perché insiste su una semicirconferenza. E per il teorema dei triangoli rettangoli si ottiene che 𝑨𝑩=𝑩𝑫∙𝒔𝒆𝒏𝜸→𝑨𝑩=𝟐𝑹∙𝒔𝒆𝒏𝜸

Teorema del raggio inscritto in una circonferenza. Consideriamo il triangolo ABC e tracciamo le bisettrici in modo da poter disegnare la circonferenza inscritta. Scriviamo la formula dell’area: 𝓐 𝑨𝑩𝑪 = 𝓐 𝑨𝑩𝑶 + 𝓐 𝑨𝑶𝑪 + 𝓐 𝑩𝑶𝑪 Facciamo le sostituzioni: 𝓐 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨𝑩 ∙𝒓 𝟐 + 𝑨𝑪 ∙𝒓 𝟐 + 𝑩𝑪 ∙𝒓 𝟐 Raccogliamo per 𝒓 𝟐 :𝓐= 𝒓 𝟐 ( 𝑨𝑩∙ 𝑨𝑪 ∙ 𝑩𝑪 ) Si ottiene che: 𝓐= 𝒓 𝟐 ∙𝟐𝒑→𝓐=𝒓∙𝒑 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 𝒓= 𝓐 𝒑 Quindi il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è uguale all’area diviso il semiperimetro

Formula del raggio circoscritto Scriviamo la formula del raggio circoscritto ottenuta col teorema dei seni 2𝑅= 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 →𝑅= 𝑎 2𝑠𝑒𝑛𝛼 Ora scriviamo la formula dell’area che comprende 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝒜= 𝑏∙𝑐∙𝑠𝑒𝑛𝛼 2 →𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼→𝑠𝑒𝑛𝛼= 2𝒜 𝑏𝑐 Sostituiamo questa espressione nella formula iniziale: 𝑅= 𝑎 2∙( 2𝒜 𝑏𝑐 ) →𝑅= 𝑎∙𝑏∙𝑐 4𝒜 Il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è uguale ai tre lati diviso 4 volte l’area

La lezione è finita ….. ….ci vediamo alla prossima!!! Emanuele Paone E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime informazioni e gli altri miei lavori. Ciao!!