Le congruenze mod m e l'insieme Zm.

Esistono particolari fenomeni come quelli temporali che hanno una certa ciclicità. Ad esempio: Ore del giorno; Giorni della settimana; Mesi dell’anno.

Teorema (Euclide). Siano a, m Є N, a si può esprimere come: a = mq + r; 0≤ r ≤ m-1 Esempio: Sia a = 23, m = 7 23 = mq + r = 7 ·3 + 2; 0 < 2< 6

Definizione: Si dice che due numeri naturali (o interi) a, b sono congrui modulo m e si scrive a ≡ b mod m se a = mq + r; b = mq’ + r; 0 ≤r ≤m-1 o equivalentemente se a - b = mq con a > b Possiamo in generale dire che due numeri sono congrui se, fissato m, hanno resto uguale

Osservazione: Per ciascun intero a, l’insieme Z dei numeri interi è ripartito, dalla relazione di congruenza modulo m, in classi di equivalenza.

a ≡ a (mod m) infatti a-a=m · 0 Proprietà delle congruenze Riflessiva: a ≡ a (mod m) infatti a-a=m · 0 Simmetrica: a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) Infatti: se a-b= mq allora b-a=mp con p=-q Transitiva: a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) Infatti: se a-b= mq e b-c= nq allora a-c=a-b+b-c=mq+nq=(m+n)q

Osservazione: Il teorema di Euclide permette di calcolare le classi di equivalenza (classi resto) fissato un intero m. Le classi resto sono esattamente m-1, ovvero: [0], [1], [2], …, [m-1].

Esempio: m=5 [0], [1], [2], [3], [4]. Ogni classe contiene oltre che se stesso tutti i numeri che diviso 5 hanno lo stesso resto Ad esempio: 5,10,15,…, stanno nella classe [0] 6,11, 16, … stanno nella classe [1]

Fissato m, possiamo “riorganizzare” l’insieme Z in classi di equivalenza passando da un insieme infinito ad un insieme formato da m-1 elementi (classi) Zm: Z → Zm La somma e moltiplicazione sono operazioni ben definite anche in Zm. Queste operazioni continuano a soddisfare le proprietà commutativa , associativa e distributiva. Gli elementi neutri per l'addizione e la moltiplicazione sono le classi [0] e [1].

Esempio: Sia m=5, Z5: [3]+[4]=[7]=[2] [3] ·[4]=[12]=[2] Fissato m, è possibile scrivere la tabella moltiplicativa e additiva degli elementi di Zm.

Legge di annullamento del prodotto: Consideriamo due numeri reali a e b, se a·b=0 allora a=0 oppure b=0. E in Zm ? Supponiamo m=6 [2] · [3]=[6]=[0] Non è detto che valga! Vale se e solo se m è primo.

Definizione: Si definisce campo un insieme non vuoto in cui sono definite due operazioni interne +, ·, che godono delle seguenti proprietà:

Definizione: Se m è primo, allora Zm è un campo, detto campo finito o campo di Galois Zp.