FASCI DI RETTE Prof. V. Scaccianoce

Fasci di rette propri L’insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto P si chiama fascio di rette proprio di centro P. Per esempio consideriamo il fascio di centro P(2;4), avrà equazione Ogni valore di m individua una retta del fascio Prof. V. Scaccianoce

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Fasci di rette impropri L’insieme di tutte le rette del piano parallele ad una retta data s si chiama fascio di rette improprio. La retta s si dice sostegno del fascio. Per esempio il fascio di rette È il fascio di rette parallele alla retta s di equazione . Ogni valore di q individua una retta del fascio. Prof. V. Scaccianoce

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Fasci generati da due rette assegnate Consideriamo due rette r: ax+by+c=0 s: a’x+b’y+c’=0 E due numeri reali α e β e facciamo la combinazione lineare delle equazioni di r ed s rispetto ai parametri α e β : α(ax+by+c)+ β(a’x+b’y+c’)=0 Si ottiene un’equazione di primo grado in x e y e quindi l’equazione di una retta. Prof. V. Scaccianoce

Vediamolo con un esempio. Consideriamo le rette r: 2x-y+3=0 s: x-y+1=0 Tale retta si dice generata da r e s, mentre r e s si dicono generatrici del fascio. Vediamolo con un esempio. Consideriamo le rette r: 2x-y+3=0 s: x-y+1=0 Facciamo la combinazione lineare delle equazioni di r ed s rispetto ai parametri reali α e β : α(2x-y+3)+ β(x-y+1)=0 2αx-αy+3α+βx-βy+β =0 (2 α+ β)x- (α+ β)y+3 α+ β=0 Prof. V. Scaccianoce

α=0 e β =1 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0→ x-y+1=0 s Abbiamo ottenuto l’equazione di una retta. Al variare dei parametri reali α e β si ottiene una retta diversa α=0 e β =1 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0→ x-y+1=0 s α=1 e β =0 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0→ 2x-y+3=0 r α=1 e β =1 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0→ 3x-2y+4=0 t α=2 e β =1 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0→ 5x-3y+7=0 m α=1 e β =-2 (2 α+ β)x- (α+ β)x+3 α+ β=0 → y+1=0 z Prof. V. Scaccianoce

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Possiamo generalizzare l’esempio: Come si può ben vedere tutte le rette passano per uno stesso punto, P(-2;-1). È facile verificare che è proprio il punto di intersezione tra r e s: Le rette r e s sono incidenti e hanno generato un fascio di rette proprio passanti tutte per il loro punto di incidenza. Possiamo generalizzare l’esempio: Due rette incidenti generano un fascio di rette proprio passanti tutte per il loro punto di intersezione. Prof. V. Scaccianoce

α(ax+by+c)+ β(a’x+b’y+c’)=0 Consideriamo due rette incidenti r: ax+by+c=0 s: a’x+b’y+c’=0 e indichiamo con P(x0;y0). Presi due numeri reali α e β facciamo la combinazione lineare delle equazioni di r ed s rispetto ai parametri α e β : α(ax+by+c)+ β(a’x+b’y+c’)=0 Abbiamo ottenuto l’equazione della generica retta del fascio. Se P(x0;y0) è l’intersezione di r ed s allora ax0+by0+c=0 a’x0+b’y0+c’=0 Prof. V. Scaccianoce

α(ax0+by0+c)+ β(a’x0+b’y0+c’)=0 Quindi α(ax0+by0+c)+ β(a’x0+b’y0+c’)=0 Questo vuol dire che tutte le rette del fascio passano per P. Ogni coppia (α ; β ) individua una retta del fascio. In particolare α=1 e β=0 retta r α=0 e β=1 retta s Invece di utilizzare una coppia di parametri è possibile scrivere la combinazione lineare di r e s con un sol parametro. Posto β≠0 e dividendo per β si ottiene Prof. V. Scaccianoce

Posto si ottiene Abbiamo riscritto il fascio utilizzando un sol parametro. In particolare Ogni valore reale di k individua una retta del fascio. L’unica retta del fascio che non è individuata da un valore reale del parametro è la seconda generatrice s. Prof. V. Scaccianoce

Generalmente il fascio lo troviamo scritto come: Per esempio (2k-1)x+(k-1)y+k-3=0 Prof. V. Scaccianoce

Due rette parallele generano un fascio di rette improprio. Consideriamo due rette parallele r: ax+by+c=0 s: a’x+b’y+c’=0 con mr=ms=-a/b=-a’/b’ Presi due numeri reali α e β facciamo la combinazione lineare delle equazioni di r ed s rispetto ai parametri α e β : α(ax+by+c)+ β(a’x+b’y+c’)=0 Abbiamo ottenuto l’equazione della generica retta t del fascio. (αa+ βa’)x- (αb+ βb’)y+ αc+ βc’=0 Prof. V. Scaccianoce

Quindi La retta t è parallela ad r e s. Anche in questo caso il fascio può essere descritto con un sol parametro. Posto β≠0 e dividendo per β si ottiene Prof. V. Scaccianoce

Ogni valore reale di k individua una retta parallela del fascio. Posto si ottiene Abbiamo riscritto il fascio utilizzando un sol parametro. In particolare Ogni valore reale di k individua una retta parallela del fascio. Prof. V. Scaccianoce

Esempio 1: Studiare il fascio di equazione Anche in questo caso, l’unica retta del fascio che non è individuata da un valore reale del parametro è la seconda generatrice s. Esempio 1: Studiare il fascio di equazione Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio Il coefficiente angolare del fascio varia al variare di k, quindi si tratta di un fascio proprio. Troviamo le rette generatrici: Prof. V. Scaccianoce

Determiniamo il centro del fascio Orientiamo il fascio. I valori di K variano tra -∞ e +∞, con continuità. Ad ogni retta del fascio corrisponde un valore di k quindi anche le rette del fascio oscillano tra r e s in maniera ordinata. Prof. V. Scaccianoce

Per k=-2 si ha 3y+5=0. Il fascio è orientato in senso antiorario Prof. V. Scaccianoce