Fisica: lezioni e problemi Giuseppe Ruffo Fisica: lezioni e problemi

Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni Le rappresentazioni di un fenomeno I grafici cartesiani Le grandezze direttamente proporzionali Altre relazioni matematiche Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto da cui esce un flusso d’acqua costante Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto da cui esce un flusso d’acqua costante. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende dall’intervallo di tempo trascorso. Il flusso d’acqua del rubinetto è costante Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante formula: q = 2 · t t : tempo trascorso. variabile indipendente; unità di misura: minuti q : quantità d’acqua accumulata. variabile dipendente; unità di misura: litri 2 : portata d’acqua del rubinetto. costante; unità di misura: litri/minuto Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Rappresentazione del fenomeno mediante grafico Asse orizzontale (ascisse) variabile indipendente t Asse verticale (ordinate) variabile dipendente q A ogni punto del grafico corrisponde una coppia di valori della tabella Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno Tabella: conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni intervalli di tempo. Grafico: visione sintetica e immediata del fenomeno. Formula: rappresentazione più astratta ma più completa Le formule hanno validità generale; uno stesso tipo di formula si può applicare a fenomeni fisici molto diversi: Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi. (variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente) Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione tra due grandezze fisiche. Per tracciare un grafico cartesiano occorre: Tracciare gli assi, cioè due rette perpendicolari, fissando il verso di percorrenza Associare a ogni asse una grandezza e un’unità di misura Scegliere la scala per ciascun asse Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani Ogni coppia di valori della tabella individua un punto. Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento. In un grafico che rappresenta una tabella di dati, l’unità di misura e la scala associate ai due assi sono indipendenti tra loro. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani Grafico di una funzione espressa da una formula. y = 2x2 Si costruisce una tabella di punti Si rappresentano i punti nel grafico In questo caso non si associano grandezze e unità di misura agli assi cartesiani Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani Appendiamo a una molla masse diverse, misuriamo l’allungamento ogni volta e costruiamo tabella e grafico. Per interpolazione troviamo le coordinate di punti intermedi Per estrapolazione troviamo le coordinate di punti esterni all’intervallo della tabella. Il significato fisico dei valori ottenuti deve essere verificato. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 2 - I grafici cartesiani Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore. L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo; i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di diretta proporzionalità Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x anche y triplica e così via. Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente proporzionali la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente proporzionali. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali Se y e x sono variabili direttamente proporzionali, il loro rapporto è costante: k è la costante di proporzionalità. La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili, ad esclusione della coppia (0; 0) Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali Grafico di variabili direttamente proporzionali: punti allineati con l’origine degli assi. La curva corrispondente è una retta passante per l’origine. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni che non sono di diretta proporzionalità Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione che descrive la correlazione è del tipo: a è b rappresentano dei valori costanti Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie con un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico di variabili correlate linearmente: punti allineati tra loro ma non con l’origine degli assi. La curva corrispondente è una retta non passante per l’origine. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili legate da proporzionalità quadratica, vale una formula del tipo: a rappresenta una costante L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande … Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico di variabili legate da proporzionalità quadratica: una particolare curva detta parabola. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo: k rappresenta una costante In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, … Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Grafico che rappresenta due variabili inversamente proporzionali: una particolare curva detta iperbole. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa quadratica, vale una formula del tipo: k rappresenta una costante y è inversamente proporzionale al quadrato di x Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche Il grafico di variabili legate da proporzionalità inversa quadratica ha la forma rappresentata in figura. Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni Rappresentazione di fenomeni fisici Mediante tabella Mediante grafico Mediante formula Proporzionalità diretta Correlazione lineare Proporzionalità inversa Proporzionalità quadratica Proporzionalità inversa quadratica Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010