Il modello duale

Il problema della dieta Alimenti N° di unità di vitamine per Kg di alimento Numero minimo di unità di vitamine da assumere 1 2 3 4 5 6 Vitamina A 9 Vitamina B 19 Costo unitario dell’alimento 3.5 2.7 2.2

Problema primale Problema duale Max z = 9x1 + 19x2 s.a x1  3.5 x2  3 2x1 + 3x2  6 2x1 + x2  5 x1 + 3x2  2.7 2x1 + 2x2  2.2 xj  0 j = 1,..,2   Min v = 3.5u1 + 3u2 + 6u3 + 5u4 + 2.7u5 + 2.2u6 u1 + 2u3 + 2u4 + u5 + 2u6  9 u2 + 3u3 + u4 + 3u5 + 2u6  19 uj  0 j = 1,...,6

Soluzione del problema primale Max z = 9x1 + 19x2 s.a x1  3.5 x2  3 2x1 + 3x2  6 2x1 + x2  5 x1 + 3x2  2.7 2x1 + 2x2  2.2 xj  0 j = 1,..,2   x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6  z b 1 3.5 3 2 6 5 2.7 2.2 9 19 x1 = x2 = 0, y1 = 3.5, y2 = 3, y3 = 6, y4 = 5 , y5 = 2.7, y6 = 2.2, z = 0 Test di ottimalità: c'jnb = 9, 19  Variabile entrante x2 Mini bi/ai2 (ai2>0) = Min 3.5/0, 3, 2, 5, 2.7/3, 2.2/2= 2.7/3  Variabile uscente y5

Soluzione del problema primale x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6  z b 1 3.5 -0.33 2.1 -1 3.3 1.67 4.1 0.33 0.9 1.33 -0.67 0.4 2.67 -6.3 -17.1 x1 = 0, y5 = 0, x2 = 0.9, y1 = 3.5, y2 = 2.1, y3 = 3.3, y4 = 4.1 , y6 = 0.4, z = 17.1 Test di ottimalità: c'jnb = 2.67  Variabile entrante x1 Mini bi/ai1 (ai1>0) = Min 3.5, 3.3, 4.1/1.67, 0.9/0.33, 0.4/1.33= 0.4/1.33  Var. uscente y6

Soluzione del problema primale (c) x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6  z b 1 0.5 -0.75 3.2 -0.5 0.25 2.2 3 .1.25 .0.25 0.8 0.75 0.3 -5 -2 -17.9 y5 = y6 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.8, y1 = 3.2, y2 = 2.2, y3 = 3, y4 = 31 , z = 17.9 Test di ottimalità: c'jnb =   5, 2  Soluzione ottima

Soluzione del problema duale Min v = 3.5u1 + 3u2 + 6u3 + 5u4 + 2.7u5 + 2.2u6 u1 + 2u3 + 2u4 + u5 + 2u6  9 u2 + 3u3 + u4 + 3u5 + 2u6  19 uj  0 j = 1,...,6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 r1 r2 h1 h2  v  w b 1 2 - 1 9 3 19 3.5 6 5 2.7 2.2 - 5 - 3 - 4 - 28 (a) u1 = u2 = u3 = u4 = u5 = u6 = r1 = r2 = 0, h1 = 9, h2 = 19, v = 0, w = 28 Test di ottimalità: c'jnb = -1, -1, -5, -3, -4, -4, 1, 1  Variabile entrante u6 Mini bi/ai6 (ai6>0) = Min 4.5, 9.5= 4.5  Variabile uscente h1

Soluzione del problema duale h1 h2  v  w b 0.5 1 4.5 -1 2 10 2.4 3 3.8 2.8 1.6 1.1 -1.1 -9.9 -2 -10 (b) u1 = u2 = u3 = u4 = u5 = r1 = r2 = h1 = 0, u6 = 4.5, h2 = 10, v = 9.9, w = 10 Test di ottimalità: c'jnb = 1, -1, -1, 1, -2, -1, 1, 2  Variabile entrante u5 Mini bi/ai5 (ai5>0) = Min 9, 5,= 5  Variabile uscente h2

Soluzione del problema duale h1 h2  v  w b 0.75 -0.25 1.25 1 -0.75 0.25 2 -0.5 0.5 01 5 3.2 2.2 3 3.6 0.3 0.8 -0.3 -0.8 -17.9 (c) u1 = u2 = u3 = u4 = r1 = r2 = h1 = h2 = 0, u5 = 5, u6 = 2, v = 17.9, w = 0 w = 0  FINE PRIMA FASE

Soluzione del problema duale  v b -0.5 0.5 1 01 5 0.75 -0.25 1.25 -0.75 0.25 2 3.2 2.2 3 3.6 0.3 0.8 -17.9 (d) u1 = u2 = u3 = u4 = r1 = r2 = 0, u5 = 5, u6 = 2, v = 17.9 Test di ottimalità: c'jnb =  3.2, 2.2, 3, 3.6, 0.3, 0.8  Soluzione ottima

Corrispondenze Primale (max) - Duale (min) in forma standard  0 x2  0. x3 b a11 a12 a13  b1 A a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 c1 c2 c3 cT PRIMALE z max u1  0 u2 u3 c a11 a21 a31  c1 AT a12 a22 a32 c2 a13 a23 a33 c3 b1 b2 b3 bT DUALE v min

Corrispondenze Primale (max) - Duale (min) in forma standard Funzione obiettivo z max v min  Vincoli i Variabili ui  ui  0 Variabili xj  Vincoli j xj  0 xj  0     matrice A matrice AT vettore termini noti b vettore coefficienti f.o. bT vettore coefficienti f.o. cT vettore termini noti c

Trasformazione in forma standard di un modello primale Se ci sono vincoli di qualunque tipo (≤, =, ≥) e variabili ≥ 0, n.r.s, ≤ 0 il sistema non è in forma standard Operazioni algebriche da eseguire per la trasformazione in forma standard Vincoli: a) Un vincolo ≥ diventa ≤ cambiando di segno a tutti gli elementi; b) Un vincolo di = si sdoppia in 2 vincoli ( uno di ≤ e uno di ≥); - Il vincolo di ≥ viene trattato come al punto a). Variabili: c) Variabile xj ≤ 0  x'j =  xj  x'j ≥ 0; b) Variabile xk n.r.s.  xk = x'k  x "k (x'k ≥ 0, x "k ≥ 0). Il modello primale così ottenuto in forma standard genera un modello duale in forma standard. Operazioni algebriche “opposte” a quelle effettuate generano un modello non in forma standard, duale dell’originario primale non in forma standard.

Corrispondenze Primale (max) - Duale (min)  0 x2 n.r.s. x3  0 b a11 a12 a13  b1 A a21 a22 a23 = b2 a31 a32 a33  b3 c1 c2 c3 cT PRIMALE z max u1 u2 u3 c a11 a21 a31 c1 AT a12 a22 a32 c2 a13 a23 a33 c3 b1 b2 b3 bT DUALE v min  0 n.r.s.  0  = 

Corrispondenze Primale (max) - Duale (min) Funzione obiettivo z max v min  Vincoli i Variabili ui  =  ui  0 ui n.r.s. ui  0 Variabili xj  Vincoli j xj  0 xj n.r.s. xj  0  =  matrice A matrice AT vettore termini noti b vettore coefficienti f.o. bT vettore coefficienti f.o. cT vettore termini noti c

Un esempio di problemi primale - duale Max z = 3x1 + 4x2 5x3 x4 2x1 x2 2x3  10 3x2 4x3 11 4x1 2x2 x3 2x4 13 x1 ≥ 2 x1, x2, x3, x4 Min v = 10u1 + 11u2 13u3 2u4 2u1 4u3 u4 ≥ 3 u1 3u2 2x3 4 4u2 u3 5 2u3 1 u1, u2, u3 ≥ 0, u4 ≤

Un esempio di problemi primale - duale La soluzione basica ammissibile ottima del primale è: x1 = 2.39, x2 = 0.56, x3 = 2.33, y4 = 3.3, x4 = y1 = y2 = y3 = 0. La soluzione basica ammissibile ottima del duale è: u1 = 0.61, u2 = 0.83, u3 = 0.44, r4 = 0.5, u4 = r1 = r2 = r3 = 0. Le soluzioni del primale hanno valore z1 = 6, z2 = 10, z3 = 13.75 , z4 = 20.05 , z5 = 21.06 (soluzione ottima). Le soluzioni del duale hanno valore v1 = 65, v2 =21.44, v3 = 21.06 (soluzione ottima).

Andamento dei valori di v e z nelle iterazioni dell’algoritmo del Simplesso 60 50 40 30 20 10 v, z Iterazioni dell’algoritmo del Simplesso 0 1 2 3 4 5 v 21.06 v = z = 21.06 z