L’interazione della luce con la materia R. Loudon, The quantum theory of light, Oxford University Press 17 settembre 2018

Luce come radiazione elettromagnetica Equazioni di Maxwell nel vuoto Equazione d’onda 17 settembre 2018

Luce come radiazione elettromagnetica Pareti perfettamente conduttrici L y x z Componente tangenziale del campo E nulla Risultati indipendenti dal volume, forma e natura. Abbiamo avuto bisogno dell’aiuto della materia. Confinamento 17 settembre 2018

Modi del campo Onde stazionarie L y x z Ma solo uno alla volta nullo (Altrimenti ) Onde stazionarie 17 settembre 2018

Modi del campo E k 2 direzioni di polarizzazione per ogni k Dalla divergenza kz p/L Ci interessa sapere quanti modi del campo abbiamo per ogni intervallo di frequenza w : w+dw _ ky kx 17 settembre 2018

N modi? Densità spettrale dei modi _ Numero di punti reticolari nel primo ottante di un guscio sferico di raggio k : k+dk k=nw/c Ogni punto occupa uno spazio (p/L)3 kz p/L 2 direzioni di polarizzazione per ogni k ky kx 17 settembre 2018

Energia del campo di oscillatore armonico Dipendenza temporale del campo e.m. Oscillatore armonico “Prima quantizzazione” 17 settembre 2018

Legge di Planck In equilibrio termico* a temperatura T Probabilità di eccitazione n-esimo stato Poniamo U = exp(- ħw / kBT) 1/(1-U) *Abbiamo ancora bisogno dell’aiuto della materia. Termalizzazione 17 settembre 2018

Densità media di energia WT(w) Numero medio di fotoni eccitati (nel modo w) Energia del fotone (nel modo w) Densità di modi tra w e w+dw 17 settembre 2018

Emissione e Assorbimento Un elettrone in un atomo può compiere transizioni tra due stati energetici assorbendo o emettendo un fotone di frequenza w = E/ħ con E = E2 – E1 differenza di energia tra i due livelli. I processi che si possono verificare sono: N2-1 E2 N2 E2 N2 +1 E2 Energia N1 E1 N1+1 E1 N1-1 E1 Un elettrone che sta in uno stato energetico E2 può ritornare allo stato ad energia più bassa (E1) cedendo la differenza di energia ħw=E2-E1 sotto forma di un fotone. In questo caso però il processo è stimolato dalla presenza di un fotone. Questo processo è coerente, i fotoni emessi sono in fase, hanno la stessa polarizzazione e viaggiano nella stessa direzione. Assorbimento Emissione spontanea Un elettrone che sta in uno stato energetico E2 può ritornare allo stato ad energia più bassa (E1) cedendo la differenza di energia ħw= E2-E1 sotto forma di un fotone di frequenza fissa ma di direzione casuale (k) Un elettrone che sta in stato ad energia più bassa E1 in presenza di un fotone di energia ħw= E2-E1 può essere eccitato al livello E2 assorbendo l’energia del fotone. Emissione stimolata

Coefficienti di Einstein All’equilibrio termico il rate di transizioni tra stati E1 e E2 deve essere uguale a quello tra stati E2 e E1. Se N1 è la popolazione (numero di atomi per unità di volume) dello stato con energia E1 il rate di assorbimento è proporzionale a N1 e al numero di fotoni nel sistema che hanno l’energia giusta per promuovere la transizione. WT(w) è la densità di energia a frequenza w. N1 WT(w) B12 con B12 costante legata al sistema atomico. Le transizioni dallo stato 2 allo stato 1 saranno di due tipi. Il primo proporzionale alla popolazione dello stato 2 e alla radiazione presente nel sistema con frequenza giusta (WT(w) ): N1 WT(w) B12 con B21 costante detta di emissione stimolata. Il secondo processo dovuto alle transizioni spontanee dallo stato 2 allo stato1 proporzionale solo alla popolazione dello stato 2: N2 A21 con A21 costante detta di emissione spontanea. I coefficienti B12, B21 e A21 sono detti coefficienti di Einstein. 17 settembre 2018

Equilibrio termico All’equilibrio i processi si devono equilibrare: La popolazione di un generico livello energetico j di un sistema all’equilibrio termico è data dalla statistica di Boltzmann: Nj densità di popolazione del livello j di energia Ej N0 la densità di popolazione totale gj la degenerazione del livello j. 17 settembre 2018

Campo e.m. è coerente? equilibrio termico WT (w) uguale a corpo nero con n indice di rifrazione del mezzo. rapporto tra il rate di emissione spontanea e quello di emissione stimolata 17 settembre 2018

17 settembre 2018

La radiazione em come perturbazione del sistema atomico Moltiplicando a sinistra per e integrando otteniamo 17 settembre 2018

La radiazione em come perturbazione del sistema atomico Moltiplicando a sinistra per e integrando otteniamo Vettore dipolo elettrico 17 settembre 2018

Assorbimento Consideriamo un fascio collimato monocromatico di area unitaria che passa attraverso un mezzo assorbente e che nel mezzo la sola transizione sia quella tra il livello E1 e E2. La variazione di intensità del fascio in funzione della distanza sarà: Per un mezzo omogeneo I(x) è proporzionale alla intensità I(x) e alla distanza percorsa x. Quindi I(x) = -I(x)x con  coefficiente di assorbimento. Scrivendo l’equazione differenziale: e integrando si ha: con I0 intensità radiazione iniziale. I(x) I(x+Dx) Dx 17 settembre 2018

In presenza di un dielettrico Assorbimento perdita di fotoni di frequenza w per unità di volume Abbiamo considerato solo assorbimento ed emissione stimolata In presenza di un dielettrico L’intensità I è l’energia che attraversa una superficie unitaria nell’unità di tempo (flusso del vettore di Poynting) I(x) W(t) I(x+dx) dx 17 settembre 2018

Coefficiente di assorbimento all’equilibrio termico (g2/g1)N1>N2 per cui il coefficiente è positivo. Inversione di popolazione (g2/g1)N1<N2 → coefficiente di assorbimento negativo Aumento di intensità nell’attraversare lo strato di materiale 17 settembre 2018

Riflessione e rifrazione La condizione al contorno sul piano z=0 implica che i diversi campi devono variare su di esso nello stesso modo ovvero devono avere la stessa fase z r’ k’ n’ x n i r’’ k k’’ 17 settembre 2018

Riflessione interna totale z n>n’ Esiste un angolo limite q0 per cui l’angolo di rifrazione è pari a p/2 r’ k’ n’ n x q0 q Per q >q0 k L’onda rifratta viaggia solo parallelamente alla superficie ed è attenuata esponenzialmente aldilà 17 settembre 2018

Riflessione interna totale Esiste un angolo limite q0 per cui l’angolo di rifrazione è pari a p/2 z n>n’ r’ k’ n’ n x q r’’ Per q >q0 k k’’ L’onda rifratta viaggia solo parallelamente alla superficie ed è attenuata esponenzialmente aldilà 17 settembre 2018

Guide d’onda planari Materiale dielettrico ad indice di rifrazione maggiore del materiale dielettrico che lo circonda. Il principio è quello della riflessione totale alle interfacce. Lo strato guidante è detto core quello sottostante buffer e quello sopra cladding. Esistono guide d’onda planari sia simmetriche (indici di rifrazione buffer e cladding uguali) che asimmetriche. Si avrà riflessione totale se l’angolo  è minore di c = 90°-sin-1(n2/n1) = cos-1(n2/n1). Per angoli maggiori una parte della radiazione sarà persa ad ogni riflessione. 17 settembre 2018

Modi guidati Fuori della guida il campo ha una decrescita esponenziale (maggiore il Dn → più veloce la decrescita) Il campo esterno dovrà raccordarsi alle interfacce con quello interno. Dentro la guida il campo ha un comportamento tipicamente ondulatorio. L’indice del modo indica il numero di nodi dell’intensità di campo 17 settembre 2018

Ottica in guida d’onda L’ottica in guida d’onda è utile per la trasmissione di luce a lunga distanza ed ha importanti applicazioni nel campo dell’ottica integrata consentendo di realizzare dispositivi miniaturizzati e dispositivi optoelettronici. Ottica integrata è la tecnologia di integrare dispositivi ottici e componenti per la generazione, la ricombinazione, la modulazione, la rivelazione di luce su un singolo substrato (chip). guida planare guida canale fibra ottica

Tipi di guide d’onda canale Configurazioni 17 settembre 2018

17 settembre 2018