I triangoli e le loro proprietà

I triangoli e le loro proprietà Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli. C B A In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che: la somma degli angoli esterni misura 2 x 180° la somma degli angoli interni misura 180° Elementi di un triangolo Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. compreso fra AB e AC, opposto a BC; compreso fra AB e BC, opposto a CA; compreso fra BC e CA, opposto ad AB.

Classifichiamo i triangoli rispetto ai lati rispetto agli angoli rettangolo, se ha un angolo retto; equilatero, se ha i tre lati congruenti; acutangolo, se ha tre angoli acuti; isoscele, se ha due lati congruenti; scaleno, se ha i tre lati disuguali. ottusangolo, se ha un angolo ottuso.

Punti notevoli di un triangolo

Altezze e ortocentro Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AH che inizia da questo vertice e va a intersecare il lato opposto BC perpendicolarmente ad esso si chiama altezza del triangolo relativa al lato BC e il punto H si chiama piede dell’altezza. A B H C A O K C H B M Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: AH relativa al lato BC, di piede H; BK relativa al lato AC, di piede K; CM relativa al lato AB, di piede M. In un qualsiasi triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto O detto ortocentro.

Osservazioni sulle altezze e sull'ortocentro K C Disegniamo un triangolo rettangolo e le sue tre altezze. Osserviamo che: l’altezza AH, relativa al lato BC, coincide con il lato AB, che si chiama cateto; L’altezza CM, relativa al lato AB, coincide con il lato BC, che è l’altro cateto. I due piedi H e M coincidono con il vertice B dell’angolo retto, il piede K è interno al terzo lato AC, che si chiama ipotenusa; L’ortocentro O coincide con i due piedi H e M e con il vertice B

Osservazioni sulle altezze e sull'ortocentro Disegniamo adesso un triangolo ottusangolo e le sue tre altezze, osserviamo che: o A C B K M H Solo L’altezza BK, relativa al lato AC, è interna al triangolo e quindi il suo piede K è interno ad AC; Le due altezze AH, relativa a BC, e CM, relativa ad AB, sono esterne al triangolo, esse incontrano il lato relativo nel suo prolungamento, quindi i loro piedi H ed M sono punti esterni ai lati BC e AB; L’ortocentro è un punto esterno al triangolo; esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze.

Osservazioni sulle altezze e sull'ortocentro Possiamo riassumere dicendo che: L’altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta a cui appartiene il lato. Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto O detto ortocentro che può essere interno (nel triangolo acutangolo), esterno (nel triangolo ottusangolo) o coincidente con il vertice dell’angolo retto (nel triangolo rettangolo). A A A H ortocentro H O B C C B H C ortocentro ortocentro O

Bisettrici e incentro A Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AM che unisce questo vertice con il lato opposto, dividendo l’angolo A in due parti di uguale ampiezza, si dice bisettrice di vertice A del triangolo. A B C M Poiché il triangolo ha tre vertici, avrà complessivamente tre bisettrici: AM bisettrice di vertice A; BN bisettrice di vertice B; CP bisettrice di vertice C. A N C M B P

Bisettrici e incentro Diciamo che: La bisettrice di un triangolo relativa a un vertice è il segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo, è cioè il segmento di bisettrice di quell’angolo. Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto I, detto incentro, che è sempre interno al triangolo. A A A incentro I I incentro incentro I B C B C B C In un qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai tre lati.

Mediane e baricentro E C D T Consideriamo il triangolo CDE e il suo vertice C; il segmento CT che unisce questo vertice con il punto medio del lato opposto si chiama mediana relativa al lato DE. B D R C S E T Anche di mediane, naturalmente, ne esistono tre: CT mediana relativa al lato DE DS mediana relativa al lato CE ER mediana relativa al lato DC In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto B detto baricentro. In ogni triangolo le mediane e il baricentro sono sempre interni. In un qualsiasi triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell’altra.

Mediane e baricentro Esaminiamo la parola “baricentro”, essa deriva dal greco “bàros”, “peso”, e letteralmente significa “centro del peso”. Il baricentro gode infatti di una notevole proprietà fisica: è l’unico punto di equilibrio del triangolo. Se disegniamo un triangolo su un cartoncino rigido, lo ritagliamo e cerchiamo di farlo stare in equilibrio su una punta o appendendolo a un filo, ci accorgiamo che dobbiamo appoggiarlo o appenderlo per il suo baricentro.

Mediane e baricentro Possiamo riassumere dicendo che: La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un unico punto B, detto baricentro, che è sempre interno al triangolo. Il baricentro divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra, ed è il punto di equilibrio del triangolo. D G L baricentro B B B C F A E baricentro H I baricentro

Assi e circocentro M E F D asse Consideriamo il triangolo DEF e il suo lato EF, sia M il punto medio di EF; la retta m, perpendicolare a EF passante per il punto M, si chiama asse del lato EF Essendo tre i lati, tre sono gli assi di un triangolo: M asse del lato EF N asse del lato DF R asse del lato DE m D E M m N n C R r F In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.

Osservazioni sugli assi e sul circocentro D E M m N n C R r F Consideriamo ancora il triangolo acutangolo, gli assi dei suoi lati e il circocentro: il circocentro C è un punto interno al triangolo. Disegniamo un triangolo rettangolo, gli assi e il circocentro; il circocentro C coincide sempre con il punto medio dell’ipotenusa Disegniamo un triangolo ottusangolo, gli assi e il circocentro: il circocentro è sempre un punto esterno al triangolo. r C N n M m R n R r M m

Osservazioni sugli assi e sul circocentro Disegniamo un triangolo qualsiasi OPQ, gli assi e il circocentro; misuriamo con un righello i segmenti CO, CQ e CP, ci accorgiamo che hanno la stessa lunghezza: r n R N C M P Q m Possiamo dire che: In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici.

Osservazioni sugli assi e sul circocentro Riassumendo quanto detto: L’asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare passante per il punto medio del lato considerato. I tre assi si incontrano in un unico punto C detto circocentro che può essere interno (triangolo acutangolo), esterno (triangolo ottusangolo) o coincidente con il punto medio dell’ipotenusa (triangolo rettangolo). Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo. A G circocentro L C C circocentro C circocentro H B D E I F N Ortocentro, incentro, baricentro e circocentro prendono il nome di punti notevoli di un triangolo.

Calcoliamo il perimetro Il perimetro di un poligono è la somma del suo contorno, cioè la somma della misura di tutti i suoi lati triangolo triangolo equilatero p = l x 3 p = somma dei lati

Fine