Parte XXIV: Onde e cenni di acustica Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XXIV: Onde e cenni di acustica Il concetto di onda Onde trasversali e longitudinali L’equazione delle onde La propagazione ondosa La soluzione dell’equazione delle onde Onde viaggianti e stazionarie I suoni: altezza, intensità e timbro Effetto Doppler

Il concetto di onda Supponiamo di avere una corda idealmente elastica (e.g. senza attriti interni) che nella sua posizione di riposo si trovi lungo la direzione x di un riferimento. x y O d Pizzichiamo la corda tirandone un trattino per una altezza Dy x y O d Dy Ts Td Si verranno a creare due forze di richiamo diverse ai due lati del trattino sollevato

Se adesso rilasciamo la corda accadrà che la deformazione si sposterà lungo la corda stessa x y O d x y O d x y O d Potranno verificarsi molti casi che dipenderanno dal fatto che le estremità della corda sono mantenute ferme (e.g. la chitarra, onde stazionarie), oppure una estremità si muove (e.g. la frusta, onde viaggianti). Si noti che in questo moto non c’è affatto trasporto di materia (vedremo che viaggia l’energia). Tuttavia la deformazione Dy, che abbiamo applicato ad un punto della corda si propaga lungo la corda stessa. Questo tipo di moto si chiama onda, e in questo caso di movimenti dei trattini perpendicolari alla direzione x si parla di onde trasversali

Consultare Fig. 14-4 Fishbane- Gasiorowicz- Thornton Durante una propagazione ondosa non c’è trasporto di materia Consultare Fig. 14-4 Fishbane- Gasiorowicz- Thornton

Onde longitudinali Può tuttavia accadere che la deformazione iniziale sia obliqua, ovvero che esista una componente parallela alla direzione x. Se immaginiamo la corda come un insieme di piccole molle, a causa della deformazione alcune si allungheranno ed altre si comprimeranno Si potranno quindi realizzare delle onde longitudinali, ovvero delle vibrazioni coordinate parallele alla direzione della corda stessa. In tal caso si parla di onde di compressione e rarefazione, che sono caratteristiche soprattutto dell’aria (o meglio di un gas) in un tubo Nel caso generale quindi di perturbazione obliqua rispetto alla direzione della corda su questa si propagheranno sia onde trasversali che longitudinali

L’equazione delle onde Si deve a D’Alembert l’aver derivato un’equazione che descrive la propagazione di un’onda in un mezzo elastico. Consideriamo una deformazione alta Dy e lunga Dx x y Dx Dy Td qd Ts qs Scriviamo le equazioni del moto per le direzioni x e y, indicando con Dm la piccola massa del trattino Dx Ma gli angoli sono piccoli se la deformazione è piccola e dovrà aversi

Supponiamo adesso che la massa sia distribuita unifomemente lungo la corda (omogeneità) e limitamoci, al solo scopo di semplificare la trattazione, a considerare solo onde trasversali, cioè nessun moto lungo x dove abbiamo introdotto la densità lineare di massa (massa per unità di lunghezza) m. Sostituendo Tutto ciò fornisce, nel limite di Dx e Dy molto piccoli Ma dalla figura è facile vedere che

Adesso bisogna realizzare che se la corda è deformata in un suo punto di ascissa x, la variabile y assumerà un dato valore che cambierà al cambiare della ascissa. Inoltre al variare del tempo la deformazione y nello stesso punto x assumerà valori diversi. cioè Tutto ciò significa che possiamo comprendere come un’onda si propaga studiando la y come funzione delle due variabili indipendenti x e t Sostituendo L’equazione delle onde (equazione di D’Alembert omogenea) Va notato che la costante v che compare nella equazione ha le dimensioni di una velocità e come vedremo è la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo

La propagazione ondosa Il fatto che l’equazione delle onde sia omogenea implica che una possibile soluzione sia y(x,t)=0 per tutte le x e tutte le t. Noi naturalmente vogliamo cercare le soluzioni non banali, se esistono. Non è difficile dimostrare che qualunque soluzione dell’equazione delle onde non può essere una funzione qualunque delle variabili indipendenti x e t, ma deve essere una funzione SOLO dell’argomento x-vt o x+vt Cioè

Per comprendere che y(x-vt) è un’onda consideriamo la funzione ad un istante fissato t0 e consideriamone il valore in un dato punto x0 y(x,t) x t y(x0-vt0) t1? x0 x1 Dx Se adesso consideriamo un altro punto x1=x0+Dx, possiamo chiederci se lì la funzione potrà assumerre lo stesso valore y(x0-vt0) ad un altro istante t1=t0+Dt.

t y(x,t) x Ciò è possibile se si verifica la seguente condizione che è sicuramente possibile al variare del tempo!! Quindi: y(x,t) x t 1 x0 y(x0-ct0) x1 Dx Quindi funzione y(x,t0) trasla nel verso positivo delle x con velocità v. Una tale onda si chiama progressiva. È altrettanto facile far vedere che y(x+vt) è un’onda regressiva, cioè viaggia lungo la direzione –x.

In sostanza è come per le insegne del Luna park o una scritta che scorre nello schermo di un televisore La sensazione è che il punto illuminato si sposti, in realtà non si sposta nulla, salvo la circostanza che il punto è illuminato o no In realtà, come vedremo, un’onda trasporta energia.

La soluzione dell’equazione delle onde Proviamo a risolvere l’equazione di D’Alembert ponendo che le soluzioni non banali siano fattorizzabili nel prodotto di una funzione della sola x e di una della sola t Sostituendo e dividendo tutto per g(x)h(t) 0, per ipotesi Ma siccome il primo membro dipende solo da x ed il secondo solo da t, che sono variabili indipendenti, entrambi i membri si devono ridurre alla stessa costante che assumiamo –k2. Si ottiene: cioè l’equazione del moto armonico semplice, di cui conosciamo possibili soluzioni

Compatibilmente con le condizioni al contorno, le soluzioni possono quindi essere del tipo: (sin(kxwt) è una combinazione lineare di sinkx, coskx, sinwt e coswt, via formule di addizione e sottrazione) La relazione w=kv si chiama relazione di dispersione ed introducendo la frequenza f e la lunghezza d’onda l La quantità a=kx-wt=k(x-vt) è una costante fissati x e t. In particolare per i punti di un piano perpendicolare alla direzione di propagazione x, a è costante. Un tale piano, definito quindi come il luogo dei punti in cui la fase è costante, si chiama fronte d’onda. La circostanza che il fronte d’onda in questo caso sia un piano ci fa chiamare le onde piane. Notare che per comprendere il significato di propagazione ondosa, noi abbiamo verificato che i fronti d’onda viaggiano con velocità v. Questa è dunque la velocità di fase dell’onda.

Onde stazionarie e viaggianti Cambiando le condizioni al contorno cambia il tipo di onda Onde stazionarie= estremità fisse Onde viaggianti= estremo fisso e vel. iniziale Consultare figg. 14-5 e 14-6 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Fishbane-Gasiorowicz-Thornton Onde stazionarie in 2D Onde viaggianti in 2D Consultare figg. 14-7 e 14-8 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Il suono e le onde stazionarie Studiamo il caso di una corda vibrante (una dimensione) ovvero le onde stazionarie Dal punto di vista matematico si tratta di un problema con condizioni al contorno non con condizioni iniziali come il moto armonico semplice. Le condizioni al contorno vanno fissate in base al fatto che i punti iniziali e finali della corda sono mantenuti fermi a tutti i tempi. Cioè Prendiamo l’equazione differenziale spaziale

Quest’ultimo risultato implica che sono soluzione dell’equazione delle onde per queste condizioni al contorno TUTTE quelle funzioni per le quali Il fatto che le soluzioni siano tante e sovrapposte dipende dal fatto che l’equazione delle onde è lineare: una combinazione lineare di soluzioni possibili è ancora una soluzione possibile Le ampiezze Yn sono in generale decrescenti con il parametro n (0<n<) Tecnicamente la soluzione per y(x-vt) è una serie (che converge se le Yn decrescono al crescere di n) di Fourier

Quindi sulla corda si stabiliranno TANTE vibrazioni sinusoidali di lunghezza d’onda e frequenza tali che Riassumendo abbiamo visto che l’onda totale sarà la sovrapposizione di tante onde sinusoidali le cui lunghezze d’onda saranno tutte sottomultipli di 2d (il doppio della lunghezza della corda) e ciascuna di ampiezza diversa Ciascuna delle onde sinusoidali avrà poi una frequenza che sarà un multiplo della frequenza fondamentale Le funzioni (fermini della serie) la cui frequenza è via via crescente e multiplo intero della frequenza fondamentale si chiamano armoniche superiori. Si noti che dipendono solamente da caratteristiche della corda

Quest’ultima equazione riassume la normale esperienza di chi ha suonato uno strumento a corda: Accorciando la corda (e.g. pressando con un dito su un tasto della chitarra) l’altezza suono emesso (la frequenza) aumenta, ovvero il suono diventa più acuto; Aumentando la tensione della corda la frequenza del suono cresce (e.g accordatura) Aumentando la densità della corda il suono diventa più grave (e.g. corde più sottili producono suoni più acuti) Le formule che abbiamo visto ci spiegano pure perché siamo in grado di riconoscere differenti strumenti musicali che suonano la stessa nota (ovvero differenti voci che cantano la stessa canzone). Questa proprietà si chiama Timbro. L’altezza della nota suonata corrisponde alla frequenza fondamentale. Se solo questo suono dovesse giungere al nostro orecchio la sensazione sarebbe molto sgradevole come il suono di un diapason. Insieme all’onda di frequenza fondamentale lo strumento emette anche tante armoniche superiori, ovvero onde di tutte le frequenze multiple di quella fondamentale. La differenza fra due strumenti differenti è che le ampiezze Yn di queste sono differenti per ciascun n. Il nostro orecchio è in grado di apprezzare le differenze fra queste differenti serie (ne fa a nostra insaputa l’analisi di Fourier). Per questo sappiamo distinguere il suono di un pianoforte da quello di un clarinetto, e c’è chi sa distinguere se un determinato pezzo per violino è eseguito usando uno Stradivari o un Guarneri

Onde su una corda vibrante

L’intensità di un’onda ed il trasporto di energia Calcoliamo l’energia connessa con una deformazione x y O d L’energia cinetica sarà L’energia potenziale sarà

Le deformazioni sono piccole quindi possiamo cercare di semplificare dl L’energia totale per unità di lunghezza allora diventa Per un’onda sinusoidale noi sappiamo che:

Sostituendo È interessante notare che in questo caso la densità di energia cinetica e potenziale sono uguali e pari a Si noti anche che l’energia si propaga come un’onda: è infatti funzione dell’argomento kx-wt=k(x-vt). Ciò significa che l’energia che abbiamo ceduto all’inizio della corda viaggierà lungo tale mezzo elastico ideale (non ci sono attriti e dissipazioni) e raggiungerà l’altra estremità (onde viaggianti)

Si noti che si è usato il simbolo di derivata totale e non parziale a proposito della densità di energia totale, cinetica e potenziale. Ciò perché deve essere per un’onda Ciò ci consente di calcolare facilmente la potenza istantanea trasportata dall’onda Possiamo ora calcolare quanta energia trasporta l’onda al secondo attraverso una superficie unitaria (1 m2) perpendicolare alla direzione di propagazione. Tale grandezza si chiama l’intensità dell’onda (corrisponde al volume del suono) Consideriamo una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione, il fronte d’onda percorrerà in 1 sec. un tratto lungo v metri. Nel volume V=1 x v, sarà dunque fluita una quantità di energia pari a vP x v 1m2

In realtà ci interessa la media temporale (in un periodo) di tale quantità Integrali come questo sono molto ricorrenti in fisica. Si esegue con un cambio di variabile Si ha:

Abbiamo quindi: Un’onda è tanto più intensa quanto più è elevata la sua frequenza, quanto più è grande la sua ampiezza, quanto più è grande la velocità di propagazione nel mezzo, quanto è più grande la sua densità di massa (corda più grossa)

Fishbane-Gasiorowicz-Thornton Effetto Doppler Cosa udiamo quando una motocicletta accelera, si avvicina e ci supera? Sentiamo il suono cambiare, ovvero crescere in altezza, non solo in volume, poi decrescere Questo è l’Effetto Doppler e ci proponiamo di comprendere perché e come avviene Se una sorgente è in moto i fronti d’onda si addensano nella direzione e verso del moto stesso e si diradano nel verso opposto Consultare fig. 14-18 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

In tal caso la frequenza con cui l’osservatore registra l’arrivo dei fronti d’onda crescerà (o diminuirà) Se la velocità della sorgente è vs in un periodo T0 la sorgente percorrerà una distanza Questa è proprio la diminuizione (aumento) di lunghezza d’onda che percepisce un osservatore che vede la sorgente avvicinarsi (allontanarsi). Cioè: Si avrà per la frequenza:

Fishbane-Gasiorowicz- Un caso del tutto analogo, che sulla base del principio di relatività di Galilei deve condurre assolutamente allo stesso risultato è quello di una sorgente ferma e di un osservatore che si avvicina (allontana) alla sorgente Consultare Fig. 14-19 Fishbane-Gasiorowicz- Thornton In tal caso, per il teorema di addizione delle velocità deve essere Cioè le cose dovrebbero andare come se il suono viaggiasse più veloce (osservatore che si avvicina) o più lento (osservatore che si allontana) Si ha:

Si noti che i risultati ottenuti sono identici, ma apparentemente lo sono solo perchè Quindi per velocità di sorgenti vicine alla velocità del suono nell’aria (340 m/sec) si dovrebbero apprezzare differenze nei due casi (sorgente in moto e osservatore fermo, o viceversa). Questo negherebbe il principio di relatività di Galilei, pertanto ci deve essere, ben nascosto, un errore nei calcoli che abbiamo fatto. In realtà l’errore sta nel fatto che le trasformazioni di Galilei, da cui discende direttamente il teorema di addizione delle velocità, sono errate. Le trasformazioni esatte sono quelle di Lorentz, che si riducono alle trasformazioni di Galilei esattamente nel caso in cui la velocità relativa vr di sorgente e osservatore sono piccole rispetto alla velocità delle onde Una trattazione corretta, molto al di là degli scopi di questo corso conduce a dimostrare che la seguente formula vale sempre:

Fishbane-Gasiorowicz-Thornton Onde d’urto Supponiamo che la sorgente viaggi più velocemente del suono. In tal caso i fronti d’onda restano indietro rispetto alla sorgente Consultare fig. 14-22 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton L’inviluppo delle onde sferiche emessa dalla sorgente costituisce un cono: il cono di Mach Si ha

Consultare fig. 14-23 Fishbane- Gasiorowicz- Thornton La superficie conica si muoverà con la velocità della sorgente e sarà anch’essa un’onda. Va sotto il nome di onda d’urto Consultare fig. 14-23 Fishbane- Gasiorowicz- Thornton Il rapporto vs/v va sotto il nome di numero di Mach e serve a classificare le velocità dei mezzi supersonici