Il paradosso di Russell Prof. Marco Lombardi

Il paradosso di Russell Il paradosso di Russell (o paradosso del barbiere) è considerato una delle più celebri antinomie della storia del pensiero logico e matematico, formulata da Bertrand Russell, filosofo e matematico inglese, nel 1918, a seguito di alcune domande poste già nel 1901. La sua scoperta ebbe ampia risonanza all'interno della comunità di studiosi che agl'inizi del Novecento si occupavano della sistemazione dei fondamenti della matematica. Si tratta di un'antinomia più che di un paradosso: un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, l'antinomia è invece una contraddizione. Russell arriva ad una contraddizione. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

Il paradosso di Russell Il concetto può essere espresso, non formalmente, nei termini seguenti: "In un villaggio c'è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e solo) gli uomini che non si radono da sé. Chi rade il barbiere?". Si possono fare due ipotesi: il barbiere rade se stesso, ma ciò non è possibile in quanto, secondo la definizione, il barbiere rade solo coloro che non si radono da sé; il barbiere non rade se stesso, ma anche ciò è contrario alla definizione, dato che questa vuole che il barbiere rada tutti e solo quelli che non si radono da sé, quindi in questa ipotesi il barbiere deve radere anche se stesso. In entrambi i casi si giunge ad una contraddizione. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

Analisi del paradosso Una trattazione di tipo insiemistico semplifica l'approccio al paradosso. Innanzitutto, ci si rende conto di trovarsi di fronte a due insiemi distinti: A: gli uomini che si radono da soli; B: gli uomini che si fanno radere dal barbiere. Il problema è collocare il barbiere in uno dei due insiemi, poiché la sua inclusione in entrambi gli insiemi creerebbe una contraddizione con la definizione stessa degli insiemi. Le prime analisi portarono il filosofo americano Willard Van Orman Quine a considerare il paradosso un caso classico della "reductio ad absurdum": non è possibile che il barbiere esista. Tuttavia, il paradosso può essere generalizzato. Ed appunto una generalizzazione di questo problema portò ad una antinomia che causò un momento di crisi di tutta la teoria matematica dell'epoca. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

Analisi e soluzione del paradosso Russell aveva formulato, nel 1901, il seguente problema: "un insieme può essere o meno elemento di se stesso?" Ad esempio, l'insieme di tutti i libri di una biblioteca non è elemento di se stesso. Invece, l'insieme di tutti gli insiemi con più di 20 elementi è elemento di se stesso. Ma se si pensa, invece, all'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi? Esso è o no elemento di se stesso? È evidente la somiglianza del problema col paradosso del barbiere. Se l'insieme (detto "I" per comodità) non fosse elemento di se stesso, allora dovrebbe essere elemento di se stesso. E, analogamente, se lo fosse, non dovrebbe esserlo. La posizione di "I" rispetto a se stesso genera ad ogni modo una contraddizione. (Paradosso di Russell) La conclusione a cui arrivò inizialmente Russell fu quella di affermare che non basta descrivere una proprietà di un insieme per garantire la sua esistenza. In seguito, introdusse una nuova teoria degli insiemi nella quale gli insiemi si distinguono in diversi livelli, per cui al livello 0 avremo gli elementi, al livello 1 gli insiemi di elementi, al livello 2 gli insiemi di insiemi di elementi e così via. In questa ottica, è possibile risolvere l'antinomia ed i paradossi. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

La contraddittorietà degli insiemi Il ragionamento di Bertrand Russell dimostra come sia facile cadere in contraddizione parlando d'insiemi. Nella teoria intuitiva degli insiemi, per definire un insieme è sufficiente definire una caratteristica comune a tutti i suoi elementi; così, per esempio, una proposizione logica del tipo "x è un numero intero divisibile per 2 senza resto", è sufficiente a definire l'insieme dei numeri pari. Questa nozione è solo apparentemente esente da dubbi e difficoltà, come dimostra l'argomentazione seguente. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

La contraddittorietà degli insiemi Introduciamo dapprima il concetto di insiemi che appartengono o non appartengono a se stessi: un insieme appartiene a se stesso se è elemento di se stesso (per esempio, l'insieme di tutti i pensieri astratti è a sua volta un pensiero astratto e dunque appartiene a se stesso); un insieme non appartiene a se stesso se non è elemento di se stesso (per esempio, l'insieme di tutti gli uomini calvi non è un uomo calvo e dunque non appartiene a se stesso). prof. Marco Lombardi 12/11/2018

La contraddittorietà degli insiemi A questo punto consideriamo l'insieme R di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. La proposizione che caratterizza gli elementi di R è: "A non è un elemento di A" (A è un qualunque sottoinsieme di R, ovvero è sia elemento di R, sia insieme per altri elementi); se la proposizione è vera per A, allora A appartiene a R, altrimenti non vi appartiene. Ci chiediamo se R appartiene o meno a se stesso (quindi se la proposizione è verificata per A = R): se R appartiene a se stesso allora, per la definizione, R non appartiene a se stesso; se R non appartiene a se stesso, la proposizione definitoria è verificata, quindi R appartiene a se stesso. Otteniamo, dunque, una doppia implicazione: "R appartiene a se stesso se e solo se [ecco la doppia implicazione] R non appartiene a se stesso", da cui scaturisce la contraddizione. N.B. La frase "R appartiene a se stesso se R non appartiene a se stesso" non è di per sé una contraddizione; è necessaria una condizione più forte, ovvero "se e solo se“. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

Il paradosso di Russell e … Il paradosso fu scoperto da Bertrand Russell nel 1901 mentre si dedicava allo studio della teoria degli insiemi di Cantor su cui contemporaneamente Frege stava realizzando la riduzione della matematica alla logica. Russell si rese subito conto delle conseguenze che la sua scoperta avrebbe avuto per il programma logicista e non esitò a mettersi immediatamente in contatto col logico di Jena. Il caso volle che la lettera di Russell fosse recapitata a Frege nell'estate del 1902 poco prima della pubblicazione del secondo e ultimo volume dei Principî di aritmetica. prof. Marco Lombardi 12/11/2018

… la crisi della Grande Logica Frege prese atto delle conseguenze distruttive per il sistema che aveva costruito in quegli anni e decise di scrivere un'appendice ai suoi Principî in cui confessava il fallimento della sua opera. Le contraddizioni messe in luce dal paradosso di Russell sono insolubili nell'ambito della teoria di Cantor e Frege, se non generando altri paradossi; per superare questo scoglio fu necessario elaborare la cosiddetta teoria assiomatica degli insiemi, formulata inizialmente da Ernst Zermelo e modificata da Abraham Fraenkel che, con le successive estensioni, fornisce tuttora la base teorica per la maggior parte delle costruzioni matematiche. La vecchia teoria degli insiemi (peraltro tuttora largamente utilizzata a livello scolastico e divulgativo) viene chiamata teoria intuitiva degli insiemi in contrapposizione alla teoria assiomatica degli insiemi. prof. Marco Lombardi 12/11/2018