Meccanica dei Fluidi (parte 2)

Concetto di Campo Insieme dei valori che una certa grandezza fisica assume in tutti i punti dello spazio. Esempio: Consideriamo il valore della pressione atmosferica in tutti i punti dell’aula 6. Poiché la pressione è una grandezza scalare questo campo è un campo di tipo scalare. Per rappresentare il campo possiamo associare un NUMERO (il valore della pressione) ad ogni punto (cioè ad ogni valore della terna (x,y,z)) dell’aula 6.

Concetto di Campo Insieme dei valori che una certa grandezza fisica assume in tutti i punti dello spazio. Altro Esempio: Consideriamo il valore della velocità delle molecole di aria, in tutti i punti dell’aula 6. Poiché la velocità è una grandezza vettoriale questo campo è un campo di tipo vettoriale. Per rappresentare un campo vettoriale si usa la seguente convenzione.

Rappresentazione di un campo vettoriale tramite le linee di flusso Convenzione: In ogni punto il vettore ha la direzione tangente alle linee di flusso. 2) Il verso del vettore è quello indicato dalle linee di flusso. 3) L’intensità del vettore è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano una superficie unitaria e normale alle linee stesse. Le linee di flusso sono le linee curve in blu.

Campi Uniformi e/o Stazionari Un campo (scalare o vettoriale) si dice UNIFORME se la grandezza fisica assume un valore costante in TUTTI i punti dello spazio (considerato). Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante in tutti i punti dell’aula 6, il campo di pressione nell’aula 6 è detto UNIFORME. Un campo (scalare o vettoriale) si dice STAZIONARIO se la grandezza fisica assume un valore costante al variare del tempo. Se, ad esempio, la pressione atmosferica è costante nell’arco di una intera giornata, in ogni punto dell’aula 6 (ma varia da punto a punto) il campo di pressione nell’aula 6 è detto STAZIONARIO

Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) Conviene studiare il comportamento della grandezza fisica (ad esempio la velocità) al variare del TEMPO IN CIASCUN PUNTO, piuttosto che studiare il moto di ogni singola particella che compone il fluido. Le grandezze fisiche solitamente utilizzate in idrodinamica sono: -) pressione p -) densità r -) velocità v. Condizione STAZIONARIA: in ogni punto la grandezza fisica è costante al variare del tempo (ma varia da punto a punto). Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Q

Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) CAMPO IDRODINAMICO STAZIONARIO pressione p=p(x,y,z) densità r=r(x,y,z) velocità v=v(x,y,z) MANCA la VARIABILE TEMPO Studio quanto vale la velocità del fluido nel punto Q al variare del tempo. Q

Studio del Fluidi in Movimento (Idrodinamica) CAMPO IDRODINAMICO STAZIONARIO Non possono esserci due linee di flusso passanti per Q, perchè Q Nel punto Q avremmo due diverse velocità del fluido e quindi il fluido non sarebbe stazionario.

Tubo di flusso Non possono esserci linee di flusso che escono dal tubo di flusso Il fluido che attraversa A, deve attraversare anche B (nell’ipotesi che non vi siano pozzi o sorgenti all’interno del tubo di flusso). Sezione A Sezione B

L’equazione di continuità Per un fluido in moto stazionario La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di tempo una sezione del condotto deve essere eguale a quella che passa nello stesso intervallo di tempo per ogni altra sezione, cioè: m1= m2

L’equazione di continuità m1=m2 V1= V2 A1l1= A2l2 (liquido incomp.) A1l1= A2l2 A1v1t= A2v2t A1v1= A2v2

Una manifestazione dell’equazione di continuità A1v1= A2v2 con v1< v2 perché l’acqua è in caduta libera A1> A2 1 2

Il Teorema di Bernoulli

Definizione di Fluido Ideale Un fluido si dice ideale se è incomprimibile e non viscoso. incomprimibile: la sua densità NON varia; non viscoso: all’interno della massa di fluido in movimento non sono attriti. Un fluido ideale è quindi meccanicamente conservativo.

Il Teorema di Bernoulli Si studia il moto di un fluido: incomprimibile, non viscoso, stazionario.

Il Teorema di Bernoulli Teorema dell’Energia Cinetica: L=EK Calcoliamo inizialmente la variazione di Energia cinetica del liquido quando passa dalla quota y1 alla quota y2 EK = m(v22  v12 A1l1(v22  v12

Il Teorema di Bernoulli L=EK=A1l1(v22  v12 Chi compie lavoro sulla massa di fluido? La forza gravitazionale Le forze di pressione L = Lg+Lp Il lavoro della forza gravitazione Lg è < 0! Lg=-mg(y2- y1)= -A1l1 (y2- y1)g

Il Teorema di Bernoulli Calcoliamo il lavoro delle forze di pressione: Lp= L1+ L2 L1= F1l1= p1A1l1 L2= -F2l2= -p2A2l2 F2 F1

Il Teorema di Bernoulli Torniamo a L=EK Lg+ L1+ L2= EK -A1l1 (y2- y1)g+ p1A1l1 -p2A2l2= A1l1(v22  v12 F2 F1

Il Teorema di Bernoulli Lg+ L1+ L2= EK -A1l1 (y2- y1)g+ p1A1l1 -p2A2l2= A1l1(v22  v12 -y2g+ y1g+ p1-p2= v22/2  v12 y1g+ p1+ v12/2 =  y2g+ p2  v22 p + v2/2 + yg = costante Per un fluido incomprimibile e non viscoso, è costante, in ogni sezione del condotto, la somma della: pressione dinamica, della pressione cinetica e della pressione di gravità

Una applicazione del Teorema di Bernoulli Calcolare v1 (problema svolto in esercitazioni)