TEOREMA DI BAYES: ESEMPI Alfredo Rizzi, Francesco Maria Sanna, Giorgio Troi

Sia Ai una delle possibili cause dell’effetto osser-vato B. Teorema di Bayes Sia Ai una delle possibili cause dell’effetto osser-vato B. Ragionamento diretto: so che agisce la causa Ai, la cui probabilità è P(Ai); in presenza di essa, può manifestarsi l’effetto B, con probabilità P(B/Ai). Non ho bisogno del teorema di Bayes. Ragionamento inverso (più frequente nella pratica e base del ragionamento induttivo): rilevo la presenza dell’effetto B, che ha proba-bilità P(B) di essere osservato (indipendente-mente dalla causa che lo provoca) e mi interrogo sulla causa che lo ha provocato. Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 1 In un sistema di comunicazione, vengono trasmessi due tipi di segnale, indicati con 0 e 1, rispettivamen-te con frequenza relativa pari a 0,6 e 0,4. A causa però di disturbi sul canale di trasmissione, il segnale ricevuto non sempre coincide con quello trasmesso. Dall’esperienza (= osservazioni ripetute) si sa che, se viene trasmesso 0, il 70% delle volte viene rice-vuto 0; se viene trasmesso 1, l’80% delle volte viene ricevuto 1. Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 1 Il modello probabilistico associato alla situazione descritta è costituito dai quattro eventi elementari del tipo: ij = [trasmesso “i”, ricevuto “j”] (i, j = 0, 1). Lo spazio W dei risultati è perciò: 00 = trasmesso 0, ricevuto 0 P(0,0) = 0,7 01 = trasmesso 0, ricevuto 1 P(0,1) = 0,3 10 = trasmesso 1, ricevuto 0 P(1,0) = 0,2 11 = trasmesso 1, ricevuto 1 P(1,1) = 0,8 Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 1 RAGIONAMENTO DIRETTO Dalla parte di chi trasmette (e SA che …): P(R1/T0) = 1 – P(R0/T0) = 0,3 P(R0/T1) = 1 – P(R1/T1) = 0,4 Probabilità degli eventi elementari: P(T0R0) = P(R0/T0) P(T0) = 0,7 * 0,6 = 0,42 P(T0R1) = P(R1/T0) P(T0) = 0,3 * 0,6 = 0,18 P(T1R0) = P(R0/T1) P(T1) = 0,2 * 0,4 = 0,08 P(T1R1) = P(R1/T1) P(T1) = 0,8 * 0,4 = 0,32 S = 1 Il teorema di Bayes non serve! Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 1 RAGIONAMENTO INVERSO Dalla parte di chi riceve (e OSSERVA che ...): P(R1) = P(R1/T1) P(T1) + P(R1/T0) P(T0) = = 0,8 * 0,4 + 0,3 * 0,6 = 0,50 e perciò anche: P(R0) = 1 – P(R1) = 0,50 ovvero: P(R0) = P(R0/T0) P(T0) + P(R0/T1) P(T1) = = 0,7 * 0,6 + 0,2 * 0,4 = 0,50 I segnali vengono trasmessi con diversa frequenza relativa, ma risulta equiprobabile ricevere 0 oppure 1. Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 1 Per rispondere alla domanda: quando è più probabile che vi sia errore in ricezione? serve il teorema di Bayes: P(T1/R0) = [P(R0/T1) P(T1)] / [P(R0/T1) P(T1) + P(R0/T0) P(T0)] = [0,2 * 0,4] / [0,2 * 0,4 + 0,7 * 0,6] = = 0,16 P(T0/R1) = [P(R1/T0) P(T0)] / [P(R1/T0) P(T0) + P(R1/T1) P(T1)] = [0,3 * 0,6] / [0,3 * 0,6 + 0,8 * 0,4] = = 0,36 La seconda situazione è più a rischio. Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 2 Una catena di supermercati ha 1.000 impiegati. Di questi 980 sono onesti e 20 sono ladri. Da un’indagine precedentemente condotta, si sa che: la probabilità che un ladro venga rinviato a giudizio è uguale a 0,90 ovvero il 90%; la probabilità che un onesto venga rinviato a giudi-zio è pari a 0,05 ovvero il 5%. Qual è la probabilità che, prescindendo da ogni altra informazione, un impiegato rinviato a giudizio, sia in realtà innocente? Titolo Presentazione 20/11/2018

Teorema di Bayes – esempio 2 Si ha : P (ladro rinviato) = 0,9 P (ladro non rinviato) = 0,1 P (innocente rinviato) = 0,05 P (innocente non rinviato) = 0,95 La probabilità che un rinviato a giudizio sia in realtà onesto è pari a oltre il 73%. Come si ricava questa probabilità? Applicando il teorema di Bayes, ma le cose possono essere semplificate mediante un semplice diagramma. Titolo Presentazione 20/11/2018

1.000 impiegati 980 onesti 20 ladri Si esamini lo schema: P(onesto rinviato) = E questo è proprio il teorema di Bayes. 1.000 impiegati 20 ladri 980 onesti 18 rinviati 2 non rinviati 49 rinviati 931 non rinviati Titolo Presentazione 20/11/2018

I dati potrebbero anche essere organizzati e presentati in una tabella a doppia entrata: Rinviati Non rinviati Totale Onesti 49 falsi positivi 931 980 Ladri 18 2 falsi negativi 20 67 933 1.000 Titolo Presentazione 20/11/2018