Rapporti e proporzioni

Rapporto fra due numeri Dati due numeri a e b (con b≠ 0) si chiama rapporto fra i due numeri il loro quoziente, ottenuto dividendo il primo per il secondo: a : b antecedente a oppure b conseguente Le parole della matematica I due numeri a e b si chiamano termini del rapporto; Il primo numero, a, si chiama antecedente; Il secondo numero, b, si chiama conseguente.

Grandezze in .... rapporto Il rapporto fra due grandezze omogenee è il quoziente tra le loro misure (stessa unità di misura) è un numero puro che indica quante volte una grandezza è maggiore o minore dell’altra. Se il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero naturale o razionale le grandezze si definiscono commensurabili. Se il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero irrazionale le grandezze sono incommensurabili. Il rapporto fra grandezze non omogenee è il quoziente fra le due misure ed è un’altra grandezza, grandezza derivata, non omogenea a quelle date e il cui valore dipende dalle unità di misura delle grandezze.

Due rapporti uguali 20 : 5 = 32 : 8 Data la proporzione: 20 : 5 = 32 : 8 In essa : I quattro numeri 20, 5, 32 e 8 sono i termini della proporzione; Il 1° e il 3° numero, 20 e 32 sono gli antecedenti; Il 2° e il 4° numero, 5 e 8, sono i conseguenti; Il 1° e il 4° numero, 20 e 8, sono gli estremi; Il 2° e il 3° numero, 5 e 32, sono i medi; Il 4° numero, 8, è il quarto proporzionale. conseguenti antecedenti estremi Quarto proporzionale 20 : 5 = 32 : 8 medi Tale proporzione la leggeremo: 20 sta a 5 come 32 sta a 8

Proprietà delle proporzioni

Proprietà fondamentale Esaminiamo una proporzione, per esempio 18 : 2 = 27 : 3 e scriviamola nel seguente modo: Riduciamo le due frazioni al m.c.d., che è 6; otteniamo: Osserviamo i due numeratori; non sono altro che: Il prodotto degli estremi, 18 x 3; Il prodotto dei medi, 27 x 2 Essi sono necessariamente uguali; infatti 18 x 3 = 54 e 27 x 2 = 54 Esprimiamo tutto ciò con la proprietà fondamentale delle proporzioni: In ogni proporzione il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi. Se a : b = c : d allora a x d = b x c

Proprietà dell'invertire Consideriamo la proporzione 27 : 3 = 36 : 4 Riscriviamola scambiando in essa ogni antecedente con il proprio conseguente: 3 : 27 = 4 : 36 (prodotto degli estremi) Possiamo affermare di aver scritto ancora una proporzione vera? Sì! Infatti, applicando la proprietà fondamentale, abbiamo: 3 x 36 = 108 27 x 4 = 108 (prodotto dei medi) = Proprietà dell’invertire: Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione. Se a : b = c : d allora b : a = d : c

Proprietà del permutare Se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono ancora altre proporzioni. 72 : 8 = 63 : 7 scambiamo i medi. Otteniamo: 72 : 63 = 8 : 7 Possiamo verificare con la proprietà fondamentale che otteniamo ancora una proporzione. 63 x 8 = 504 72 x 7 = 504 Prova tu a scambiare gli estremi e verifica se ottieni ancora una proporzione.

Proprietà del comporre In ogni proporzione la somma del 1° e del 2° termine sta al primo o al secondo termine come la somma del 3° e del 4° termine sta al terzo o al quarto termine. 72 : 8 = 63 : 7 Otteniamo: (72 + 8 ) : 72 = ( 63 + 7 ) : 63 80 : 72 = 70 : 63 80 : 8 = 70 : 7 oppure ( 72 + 8 ) : 8 = ( 63 + 7 ) : 7 Le due proporzioni ottenute sono esatte perché in ciascuna delle due il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Conclusioni:

Proprietà dello scomporre In ogni proporzione (con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti) la differenza del 1° e del 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la differenza del 3° e 4° termine sta al 3° o al 4° termine. 100 : 10 = 30 : 3 90 : 100= 27 : 30 (100 – 10 ) : 100 = (30 – 3 ) : 30 Oppure: 90 : 10 = 27 : 3 ( 100 – 10 ) : 10 = ( 30 – 3 ) : 3 Le due proporzioni ottenute sono esatte perché, in ciascuna delle due, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Conclusioni:

Calcolo di un estremo o di un medio 54 : 6 = 108 : X Il termine mancante è detto termine incognito e si indica con x. Applichiamo la proprietà fondamentale: 54 . x = 6 . 108 da cui: 54 . x = 648 da questa avremo: In generale diciamo quindi che: In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l’estremo conosciuto. X = 6 . 108 54 = 12

Calcolo di un estremo o di un medio 121 : x = 143 : 13 Applichiamo la proprietà fondamentale: 121 . 13 = x . 143 da cui: 1573 = x . 143 da questa avremo: In una proporzione il valore di un medio incognito è dato dal prodotto degli estremi diviso il medio conosciuto. In generale diciamo quindi che: 121 . 13 X = 143 = 11

Proporzione continua 4 : x = x : 25 In una proporzione continua il valore del medio proporzionale è dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi. 4 : x = x : 25 Data la proporzione Applichiamo la proprietà fondamentale X . X = 4 . 25 X² = 4 . 25 Ricaviamo x ricordando che l’operazione inversa della potenza è la radice quadrata. 4 . 25

Risolvere un problema con il metodo delle proporzioni Come si fa a … La differenza tra due numeri è 15, e uno è pari ai 12/7 dell’altro. Determina i due numeri. x : y = 12 : 7 x - y = 15 ( x - y ) : x = ( 12 - 7 ) : 12 15 : x = 5 : 12 15 . 12 5 x = = 36 y = x – 15 = 36 – 15 = 21

Fine