Meccanica dei Fluidi

non hanno forma propria non hanno volume proprio Fluidi non hanno forma propria Liquidi hanno volume proprio, incompressibili Gas non hanno volume proprio

Fluidi ideali: incompressibili (densità costante) non viscosi (no attrito interno) infiniti elementi dm = dV con scorrimento relativo senza attrito

Fluidi ideali: incompressibili (densità costante) non viscosi (no attrito interno) Forze agenti sugli gli elementi: 1) Forze di volume FV applicate su tutto dV, proporzionali a dV (esempio: dFP = dmg = gdV) 2) Forze di superficie FS applicate su dS, proporzionali a dS esempio: dF = pdS

Statica dei fluidi (ideali) non ci sono sforzi di taglio  forze fra gli elementi solo normali p rappresenta lo sforzo normale nel fluido p non dipende dalla direzione di dS

z  b c Eq. statico: a L

p non dipende dalla direzione  b c a L p non dipende dalla direzione vedremo che p = p(x,y,z)

Lavoro compiuto dalle forze di pressione (ci servirà in seguito)

Equilibrio statico in presenza di forza peso p + p z2 p volumetto infinitesimo di fluido immerso in equilibrio nel fluido Forze di volume: Equilibrio:

equazione fondamentale dell’idrostatica (in presenza della sola forza peso) z z1 z2 1 2

equazione fondamentale dell’idrostatica (in presenza della sola forza peso) z h legge di Stevino (in presenza della sola forza peso)

in prossimità della superficie libera: pA  pressione atmosferica h 10 m 20 m

p rappresenta lo sforzo normale nel fluido ma si applica anche alle pareti del contenitore

p sull’oblò di un sottomarino  = 20 cm, h = 600 m, F = ? h

F = ? Parete di una vasca piena d’acqua H = 5 m, L = 10 m F

Conseguenze della legge di Stevino 1) le superfici isobare sono orizzontali (in presenza della sola forza peso)

Conseguenze della legge di Stevino 1) le superfici isobare sono orizzontali (in presenza della sola forza peso) i vasi comunicanti

! i vasi comunicanti con 1  2 Conseguenze della legge di Stevino ! i vasi comunicanti con 1  2 h1 h2

Conseguenze della legge di Stevino Applicazioni: manometro ad “U” ∆h

Conseguenze della legge di Stevino Applicazioni: barometro di Torricelli ∆h ∆h

Conseguenze della legge di Stevino 1) le superfici isobare sono orizzontali (in presenza della sola forza peso) 2) p additiva rispetto a p0 Principio di Pascal: “L’aumento di pressione esercitato in un punto qualsiasi di un fluido si trasmette in ogni altro punto del fluido con la stessa intensità, indipendentemente dalla direzione” la pressa idraulica, i circuiti freno

Principio di Archimede Equilibrio statico: “Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido che viene occupato dal volume del corpo” Nave, mongolfiera, sommergibile

Principio di Archimede il galleggiamento h h’

07.07.2010 Un recipiente cilindrico di sezione B galleggia in un secondo recipiente più grande, anch’esso cilindrico e di sezione A, contenente dell’acqua. A partire dalla condizione di equilibrio iniziale (h = h1), una piccola massa m viene poggiata sul fondo del recipiente galleggiante. Si calcoli l’innalzamento ∆H del pelo dell’acqua al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio. Si effettuino i calcoli per A = 120 cm2 , r = 103 Kg/m3 e m = 70 g. H h B A

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali 1° Caso particolare: accelerazione verticale z Forze di volume: all’equilibrio:

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali p + p z2 p volumetto infinitesimo di fluido immerso in equilibrio nel fluido Forze di volume: Equilibrio:

Durante il decollo lo Shuttle raggiunge un’accelerazione verticale a = 5g. Calcolare la pressione assoluta alla base del serbatoio di ossigeno liquido alto h = 5 m: a) prima della partenza; b) durante la partenza. Si assuma per l’ossigeno liquido  = 1.141 g /cm3.

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali 2° Caso particolare: accelerazione orizzontale Forze di volume: all’equilibrio: x

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali 2° Caso particolare: accelerazione orizzontale superfici isobariche Forze di volume: all’equilibrio: x

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali 2° Caso particolare: accelerazione orizzontale superficie libera 

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali Caso generale: accelerazione qualsiasi all’equilibrio:

Un tubo ad U contenente acqua ha i suoi tratti verticali distanti D = 50 cm tra loro. Se il tubo si trova in rotazione intorno ad uno dei rami verticali con velocità angolare  = 2 rad/s, determinare il dislivello tra le superfici libere del fluido nei due rami.  p0 p1 p0 calcolando sul ramo vert. esterno: x calcolando sul ramo vert. interno + ramo orizzontale:

Un tubo ad U contenente acqua ha i suoi tratti verticali distanti D = 50 cm tra loro. Se il tubo si trova in rotazione intorno ad uno dei rami verticali con velocità angolare  = 2 rad/s, determinare il dislivello tra le superfici libere del fluido nei due rami.  p0 p1 p0 uguagliando: x

Equilibrio statico in presenza anche di forze inerziali secchio in rotazione  profilo parabolico

Spinta di Archimede in presenza anche di forze inerziali all’equilibrio:

Un’autocisterna di benzina ( = 720 kg/m3) sta frenando su un rettilineo con un’accelerazione costante a = 4 m/s2. Un galleggiante di massa m = 0.2 kg e volume V = 1000 cm3 è immerso completamente nella benzina. Calcolare modulo e direzione de: a) spinta di Archimede e b) della forza totale agente sul galleggiante

Dinamica dei fluidi (ideali) Descrizione euleriana: fissi in un punto P(x,y,z) osserviamo l’elemento che passa a t con v(x,y,z,t). v(x,y,z,t) come campo di velocità (variabile) [alternat. descrizione lagrangiana v(x0, y0, z0, t)] linee di corrente: hanno v come tangente (linee di flusso: traiettorie delle particelle) Regime stazionario: v(x,y,z,t) ≡ v(x,y,z) linee di corrente ≡ linee di flusso

sezioni del tubo di flusso Regime stazionario linee di corrente≡ linee di flusso  tubo di flusso sezioni del tubo di flusso sezione infinitesima dS dS S1 Portata infinitesima: S2 dS

Regime stazionario Portata infinitesima: Portata finita: dS Portata finita: S1 S2 Regime stazionario in fluidi ideali: Conservazione della portata (eq. di continuità) (legge di Leonardo)

Teorema di Bernoulli conservazione della portata: conservazione dell’energia: l1 l2 S2

Teorema di Bernoulli z z1 z2

Appello del 29/9/2010 In un tubo verticale di altezza h = 1,5 m e sezione S = 15 cm2 scorre dell’acqua ( = 103 kg/m3) a velocità costante v = 2 m/s. Nelle parti estremali del tubo la sezioni sono ridotte da due strozzature di sezione S1= 3 cm2 in alto e S2= 5 cm2 in basso. Determinare la differenza di pressione esistente tra le due strozzature. S1 S2 S

Teorema di Bernoulli – casi particolari 1) velocità di uscita da un foro S1 S2 teorema di Torricelli

Un recipiente cilindrico viene riempito da un liquido di densità  = 2 g/cm3, fino ad un’ altezza h = 50 cm dal fondo. Se un piccolo foro viene praticato sulla parete laterale del cilindro ad una distanza H = 15 cm dal fondo, e se il fluido, dato il profilo del foro, ne fuoriesce obliquamente verso l’alto formando un angolo = 60° rispetto all’orizzontale, determinare quale è la massima quota raggiunta dal liquido rispetto al fondo del recipiente.   v h H

Teorema di Bernoulli – casi particolari 2) effetto Venturi

Teorema di Bernoulli – casi particolari 2) effetto Venturi: nebulizzatore carburatore profilo alare

Si consideri un tubo di lunghezza 2L, avente sezione S1 per metà della sua lunghezza e sezione S2 per l’altra metà (vedi figura). Sapendo che nel primo tratto la velocità del fluido è pari a v1 e che nei due tubi piezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote h1 e h2 rispettivamente, si calcoli la velocità v2 del fluido nella seconda parte di tubo. Si trascurino le dimensioni di R1 e R2  e si eseguano i calcoli numerici con: L = 70 cm, v1 = 2 m/s, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm, velocità del suono nel fluido vs = 1500 m/s