Parte V: Oscillazioni armoniche e non Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte V: Oscillazioni armoniche e non Moto armonico semplice (la molla) Moto armonico semplice (il pendolo semplice) Moto armonico smorzato Moto armonico smorzato e forzato

Uno dei fenomeni più frequenti Le oscillazioni sono fra i fenomeni più comuni in natura e sono facili da realizzare Filmato oscillazione libera Nella nostra comune esperienza l’oscillazione prima o poi terminerà a causa dell’attrito. Più avanti sarà discusso come ciò avvenga a causa del trasferimento di energia a gradi di libertà interni.

Altri tipi di oscillazione Le oscillazioni torsionali Filmato Oscillazione torsionale 1 Filmato Oscillazione torsionale 2 Filmato Oscillazione torsionale 3

La molla ideale: forze elastiche Una massa m è collegata alla estremità di una molla ideale (senza attriti interni). Tirando la molla di una quantità X0, si nota che questa è soggetta a delle forze di richiamo che crescono con la deformazione. Abbandonando la molla si nota che la massa oscilla. Fr Fr x=0 x=X0 x=-X0 Clicca qui per esperimento virtuale

Non sappiamo moltissimo sulle forze elastiche di richiamo, salvo che hanno la stessa direzione ma verso opposto alla deformazione x(t). Per piccole deformazioni Termini anarmonici Limitarsi a considerare il caso Fr=-kx (Legge di Hooke), ovvero troncare lo sviluppo in serie di potenze al primo ordine, Così facendo l’equazione del moto diventa Nelle approssimazioni fatte (assenza di attrito e forze elastiche) abbiamo ottenuto la Equazione del Moto Armonico Semplice

Soluzione dell’equazione del Moto Armonico Semplice Useremo la convenzione che un punto sopra una variabile indica la derivata rispetto al tempo della variabile stessa, cioè Bisogna fissare le condizioni iniziali (a t=0). Siccome il moto comincia dall’aver tirato la molla (ovvero spostato il pendolo) di un tratto X0, e la massa è inizialmente ferma Conviene risolvere l’equazione col metodo delle funzioni di prova. Visto che la massa oscilla e che la derivata seconda della funzione cercata è proporzionale alla funzione stessa, si intuisce che essa debba essere una funzione sinusoidale (cosinusoidale). Pertanto con A (detta ampiezza), w(pulsazione) e f (fase)parametri da determinare

Derivando la funzione di prova rispetto al tempo Sostituendo nell’equazione differenziale potremo determinare la pulsazione w Possiamo usare le condizioni al contorno per determinare l’ampiezza A e la fase f Da cui La seconda si scarta perché la molla è stata inizialmente allungata (x>0) non compressa

La deformazione x oscilla in funzione del tempo Un cambiamento della fase f è equivalente ad un cambiamento nell’origine dei tempi

Energia nel moto armonico semplice È interessante notare che la forza elastica di richiamo è conservativa Possiamo cioè introdurre una Energia Potenziale tale che Il che vuol dire che nel momento in cui abbiamo tirato la molla (o scostato il pendolo) dalla sua posizione di equilibrio x=0, abbiamo trasferito alla molla un energia pari a

Tuttavia l’energia potenziale varia nel tempo Siccome Etot si deve conservare (non ci sono altre forze, p.es. l’attrito, agenti sulla massa), vuol dire che l’energia cinetica deve cambiare anch’essa nel tempo, ed in maniera da rendere costante Etot. Questo implica che Verifichiamo che ciò sia vero

Il grafico delle energie in funzione del tempo evidenzia come in questo moto vi sia un continuo trasferimento di energia potenziale a cinetica e viceversa La massima energia cinetica si ha nella posizione di equilibrio x=0 (energia potenziale nulla) mentre la massima energia potenziale si ha quando l’oscillatore inverte il suo moto a x=±X0 (energia cinetica nulla)

Il moto armonico semplice è periodico, cioè la molla riassume una data posizione dopo un intervallo di tempo fisso detto periodo La frequenza del moto (il numero di oscillazioni compiute in un secondo) è l’inverso del periodo (si misura in Hertz=sec-1) Si noti che periodo, frequenza e pulsazione sono una caratteristica propria della molla: se si cambia il materiale di cui la molla è costituita o la sua massa varierà w0

Il pendolo semplice Supponiamo che una massa puntiforme m sia appesa ad una estremità di un filo, lungo l, inestensibile e privo di massa, e che l’altra estremità del filo sia fissata ad un punto Spostiamo la massa di un angolo q0 e abbandoniamola La massa inizierà ad oscillare e in assenza di attriti od altre forze questo moto continuerà per sempre (Moto armonico semplice) q0 q m T -mg -mgsinq -mgcosq Il diagramma delle forze fa capire che il moto avviene per effetto della componente tangenziale della forza peso Per oscillazioni di ampiezza piccola rispetto alla lunghezza del pendolo possiamo “confondere” l’arco di circonferenza descritto dal pendolo con la corda q l h

Clicca qui per esperimento virtuale L’applicazione della Legge di Newton fornisce ancora l’equazione del M.A.S. (nel limite di piccoli angoli) Clicca qui per esperimento virtuale La soluzione dell’equazione è assolutamente analoga a quella della molla

L’energia totale del pendolo Il calcolo della energia totale del pendolo è un po’ diverso da quello della molla, in quanto l’energia potenziale si ha perché il pendolo si solleva di una quota h q l h Naturalmente anche stavolta l’energia totale si conserva

Oscillazioni smorzate Il problema appena risolto del Moto Armonico Semplice è evidentemente irrealistico: abbiamo trascurato gli attriti interni della molla (l’attrito al gancio del pendolo), l’attrito dell’aria, etc. Filmato oscillazione libera Filmato oscillazione smorzata

È abbastanza evidente che un’altalena in moto prima o poi si fermerà, e che se invece che nell’aria si muovesse nell’acqua si fermerebbe prima di aver compiuto una oscillazione completa Possiamo provare a discutere questi casi inserendo nell’equazione del moto un termine di attrito viscoso, lineare nella velocità: il caso delle oscillazioni in acqua ed in aria corrisponde a due differenti coefficienti (bacqua>baria) In tal caso l’equazione del moto diventa con opportune sostituzioni Manteniamo le stesse condizioni al contorno: molla inizialmente alla massima elongazione

Stavolta la soluzione non può essere semplicemente una sinusoide, a causa della presenza della derivata prima. Conviene provare con un esponenziale Derivando Sostituendo Le due radici sono entrambe corrette, e non possiamo, al momento sceglierne una sola. Essendo poi l’equazione differenziale lineare una qualunque combinazione lineare di possibili soluzioni è ancora una soluzione. Possiamo dunque prendere

Se a sono reali e scegliendo A+=A-=A/2, si ottiene la seguente soluzione: le oscillazioni sovrasmorzate Come si vede la soluzione “a-” si riduce a zero prestissimo, mentre la soluzione “a+” coincide nella pratica col totale: appena abbandonata la molla si avvicina alla posizione di equilibrio che raggiunge asintoticamente. Questa soluzione dovrebbe dunque corrispondere ad un pendolo che si muove nell’acqua

Tuttavia non è affatto detto che le radici a siano reali: il discriminante dell’equazione potrebbe essere negativo se l’attrito è debole In questo caso l’esponenziale sarà una funzione complessa. Definendo Ma x(t) deve essere una quantità reale. Imponendo le condizioni iniziali e usando l’identità di Eulero

Clicca qui per esperimento virtuale Si noti che in assenza di attrito (g0) la soluzione ritorna quella del moto armonico semplice L’effetto dell’esponenziale è quello di far diminuire continuamente l’ampiezza della oscillazione libera X0. Si noti che 00. Questa soluzione descrive bene il caso del pendolo che oscilla in aria (coefficiente d’attrito piccolo). Clicca qui per esperimento virtuale

L’energia nelle oscillazioni smorzate A cause delle forze non conservative (attrito interno) che agiscono sull’oscillatore l’energia meccanica totale non può conservarsi. In realtà energia viene trasferita ai gradi di libertà microscopici (le molecole dell’aria, le vibrazioni della fune e dell’attacco, etc.). Se avessimo messo in moto una molla, quando questa non oscillerà più la sua temperatura sarà aumentata: l’attrito ha trasformato l’energia meccanica in calore. Non è difficile calcolare come l’energia diminuisce nel tempo La potenza dissipata, ovvero l’energia che al secondo viene trasformata in calore La potenza si misura in Watt:

Oscillazioni smorzate e forzate Se vogliamo mantenere le oscillazioni a lungo, come per l’altalena o per l’orologio, dobbiamo agire con delle forze esterne, per ripristinare l’energia meccanica ceduta ai gradi di libertà microscopici Supponiamo di agire dall’esterno con una forza che oscilli con pulsazione w. Tramite l’analisi di Fourier è possibile mostrare che questa scelta è assolutamente generale. L’equazione del moto diventerà L’equazione differenziale adesso non è più omogenea. La teoria delle equazioni differenziali insegna che la soluzione potrà scriversi come somma di una soluzione generale della equazione omogenea associata più una soluzione particolare della equazione completa

Cioè Ma xomo non è altro che la soluzione per le oscillazioni smorzate e/o sovrasmorzate, trovate poc’anzi. Questa soluzione dopo qualche breve istante si azzera. Pertanto a regime (e cioè per grandi tempi, non t=0) dovrà aversi Cerchiamo la soluzione col metodo delle funzioni di prova. Bisogna realizzare che sotto l’azione della forza pulsante esterna, la massa oscillerà con la stessa pulsazione di questa. Proviamo con una funzione del tipo Si noti che l’ampiezza e la fase delle oscillazioni devono dipendere dal parametro esterno w Derivando e sostituendo nell’equazione differenziale

Applicando le formule di addizione e sottrazione e isolando a primo membro i termini proporzionali a coswt e a secondo membro quelli proporzionali a sinwt Siccome questa equazione deve valere per qualunque valore della variabile indipendente t e sinwt e coswt non sono proporzionali, le due parentesi devono annullarsi simultaneamente L’ultimo è un sistema di equazioni nelle due incognite X e  Dalla prima equazione

Sostituendo nella seconda equazione Nell’ultima equazione abbiamo introdotto l’ammettenza A(w). Graficando A e 

Risposta dell’oscillatore alla forza esterna e risonanza L’ammettenza dipende solo dai parametri caratteristici dell’oscillatore w0 e g Avremmo potuto realizzare il grafico precedente sperimentalmente, e cioè misurando l’ampiezza delle oscillazioni corrispondente a differenti valori della pulsazione della forza esterna. L’ammettenza ci dice come risponde (oscilla) il nostro oscillatore a causa della sollecitazione esterna È interessante notare due cose: L’ammettenza e quindi l’ampiezza delle oscillazioni è normalmente piccola se la frequenza è alta o comunque lontana dalla pulsazione propria w0 L’ampiezza diventa molto grande se la pulsazione esterna è vicina alla pulsazione propria (risonanza)

La prima circostanza è dovuta al fatto che la velocità di oscillazione diventa grande se è grande w, e le forze di attrito viscoso diventano dominanti, impedendo così il moto Il fenomeno della risonanza, invece, è dovuto al fatto che l’ammettenza ha un massimo per la frequenza propria. P. es. nel caso dell’altalena succede che se le spinte sono ben assestate e con l’opportuna periodicità, l’ampiezza delle oscillazioni cresce molto velocemente fino a che l’altalena si capovolge. Al contrario se la spinta viene data mentre l’altalena sta ancora rientrando allora l’altalena viene frenata Un grattacielo od un ponte sono un oscillatore. Sotto l’azione del vento o di una scossa sismica si comportano qualitativamente come l’altalena L’onda sismica o il vento possono essere pensati come la sovrapposizione di tante forze pulsanti di differente pulsazione. Se qualcuna di queste vibra vicino alla frequenza di risonanza del grattacielo o del ponte, l’ampiezza delle oscillazioni di questo può crescere vertiginosamente, fino al crollo dell’edificio. Il Ponte di Tacoma