Non c’è flusso in uscita, quindi il flusso comporta una variazione continua nel tempo del volume di terreno nel vessel: F = dV/dt La soluzione di substrato è solitamente molto concentrata, in modo da poterne trascurare il volume rispetto al volume di terreno presente nel vessel: dV/dt 0 Anche nel processo fed-batch, la variazione di biomassa dipende dalla velocità di crescita e dalla diluizione e, per analogia con la 32: dX/dt = μX - DX Se la crescita dipende solo dal substrato in alimentazione e questo viene aggiunto lentamente, avremo una produzione molto lenta di biomassa: dX/dt 0 In questo caso potremo definire il processo fed-batch uno stato quasi stazionario, durante il quale tutte le variazioni di stato nel tempo sono minime. Di conseguenza: μX-DX 0 E quindi: μ D Se vale l’equazione di Monod: S = DKs / (max – D) Essendo la velocità di crescita e quindi D molto piccole, sarà anche la concentrazione del substrato molto bassa: S 0
Come già visto per lo stato stazionario delle colture continue, anche qui la velocità di crescita dipenderà dalla resa e dalla velocità di flusso del substrato: dX/dt = DY(S0 - S) Convertendo la concentrazione X (biomassa per unità di volume) in biomassa totale con B = VX, avremo: dB/dt = VDY(S0 - S) = FY(S0 - S) Approssimando a zero la concentrazione residua del substrato nel vessel, potremo separare le variabili: dB = FYS0dt Ed integrare rispetto al tempo t dell’intero processo ottenendo: B = FYS0t Se al tempo t = 0 era presente una biomassa B0 (preinolculo), avremo: B = B0 + FYS0t B è la biomassa totale ottenibile dal processo, se il substrato venisse tutto utilizzato per produrre biomassa con la resa Y e FS0t è la quantità totale di substrato somministrata durante il processo.