32 = 9 x2 = 9 x = 3 32 = 9 √9 = 3 L’estrazione di radice Consideriamo la potenza 32 = 9 di cui conosciamo: Esponente 32 = 9 Valore della potenza Base L’operazione di radice consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato alla seconda dà come risultato 9. x2 = 9 x = 3 perché 32 = 9 √9 = 3 2 Scriviamo dunque Radice quadrata

√9 = 3 L’estrazione di radice In generale possiamo affermare che: DEFINIZIONE. L’operazione inversa dell’operazione di elevamento a potenza, che ci consente di calcolare la base conoscendo l’esponente e il valore della potenza, si chiama estrazione di radice o più semplicemente radice di un numero. Indice √9 = 3 2 Segno di radice Radice Radicando Radice quadrata

L’estrazione di radice L’operazione di radice è l’operazione inversa di potenze di esponente diverso: 3, 4, 5 … ecc.; si avranno così radici terze, quarte, quinte, ecc… Radice terza di in quanto Radice quarta di in quanto DEFINIZIONE. La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato al quadrato (ossia moltiplicato per se stesso) dà come risultato il radicando stesso. Radice quadrata

La radice quadrata esatta Consideriamo i numeri 900 e 64 ottenuti elevando al quadrato rispettivamente 30 e 8. Possiamo scrivere che Questi numeri hanno per radice quadrata un numero naturale; per questo motivo vengono definiti quadrati perfetti. Come possiamo riconoscere se un numero è un quadrato perfetto? PROPRIETÀ. Un numero naturale è un quadrato perfetto se nella sua scomposizione in fattori primi tali fattori hanno tutti esponente pari. Radice quadrata

La radice quadrata esatta Consideriamo le scomposizioni in fattori primi dei due numeri 900 e 64 900 = 22  32  52 64 = 26 Consideriamo ora la scomposizione in fattori primi delle radici quadrate dei numeri 900 e 64, cioè di 30 e 8. 30 = 2  3  5 8 = 23 Osserviamo che i fattori della radice quadrata hanno sempre l’esponente dimezzato rispetto ai corrispondenti fattori del radicando. REGOLA. La radice quadrata di un quadrato perfetto si ottiene dal prodotto degli stessi fattori primi con gli esponenti dimezzati. Radice quadrata

La radice quadrata approssimata all’unità Se cerchiamo la radice quadrata del numero 45 cioè √45, non riusciamo a trovare alcun numero, nell’insieme dei numeri razionali, che elevato alla seconda dia esattamente 45. Questo numero non è pertanto un quadrato perfetto. È però possibile individuare fra quali quadrati perfetti è compreso il numero 45. Siccome 36 < 45 < 49 possiamo dire che: 6 approssimazione per difetto, infatti 62 = 36 < 45 7 approssimazione per eccesso, infatti 72 = 49 > 45 Possiamo quindi dire che Radice quadrata

La radice quadrata approssimata all’unità REGOLE. La radice quadrata approssimata per difetto a meno di un’unità è il numero naturale più grande che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato senza superarlo. La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un’unità è il numero naturale più piccolo che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato restandogli maggiore. Il risultato dell’estrazione di radice di un numero che non è un quadrato perfetto dà origine a un numero decimale illimitato non periodico. Tali numeri vengono chiamati irrazionali. DEFINIZIONE. I numeri irrazionali formano l’insieme dei numeri irrazionali che viene indicato con la lettera I. Radice quadrata

Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare possiamo scrivere oppure Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei suoi fattori. Radice quadrata

Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare possiamo scrivere oppure Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore. Radice quadrata

Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Per determinare la radice quadrata di un numero si possono utilizzare le tavole numeriche. Si possono presentare due casi. Primo caso Il radicando ha un valore compreso tra 1 e 1 000 Per calcolare la radice quadrata basta individuare il numero nella colonna n e leggere la relativa radice quadrata sulla stessa riga, in corrispondenza della colonna √n. Calcoliamo la radice quadrata di 329. n n2 n3 √n 328 107 584 35 287 552 18,1108 6,8964 329 108 241 35 611 289 18,1384 6,9034 330 108 900 35 937 000 18,1659 6,9104 3 Pertanto Radice quadrata

Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Secondo caso Il radicando ha un valore compreso tra 1 001 e 1 000 000 Il numero non si trova sulle tavole nella colonna n. Si possono presentare due casi. Il numero si trova nella colonna n2 In questo caso il numero dato è un quadrato perfetto e per trovare la radice quadrata basta leggere il numero sulla stessa riga nella colonna n. Calcoliamo la radice quadrata di 390625. n n2 n3 √n 624 389 376 242 970 624 24,9800 8,5453 625 390 625 244 140 625 25 8,5499 626 391 876 245 314 376 25,0200 8,5544 3 Pertanto Radice quadrata

Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Il numero non si trova nella colonna n2 Il numero non è un quadrato perfetto e si deve ricorrere a un’approssimazione. Calcoliamo, ad esempio, la radice quadrata di 44 678. Scorriamo la colonna n2 n n2 n3 √n 210 44 100 9 261 000 14,4914 5,9439 211 44 521 9 393 931 14,5258 5,9533 212 44 944 9 528 128 14,5602 5,9627 3 Ne deriva che è un numero compreso tra 211 e 212 Radice quadrata

La radice quadrata di un numero decimale REGOLA. In base all’approssimazione che si intende raggiungere, si pareggiano le cifre decimali (nel caso non lo siano) aggiungendo zeri; si trasforma il numero decimale nella relativa frazione decimale; si estrae, mediante l’uso delle tavole, la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un’unità del numeratore; si estrae la radice quadrata del denominatore; si trasforma la frazione decimale ottenuta nel corrispondente numero decimale. ESEMPIO La radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 di 4,6: 0,1 Radice quadrata

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Calcoliamo la radice quadrata di 38 025. Procedendo da destra verso sinistra, suddividiamo con un puntino il numero in gruppi di due cifre. Prima cifra di radice Calcoliamo la radice quadrata del primo gruppo (a sinistra) approssimata per difetto e la scriviamo a destra del numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata. 1 1 Eleviamo al quadrato la prima cifra del risultato (1  1 = 1) e la sottraiamo dal primo gruppo di cifre (3 – 1 = 2). 1 2 Primo resto Radice quadrata

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Abbassiamo il secondo gruppo di cifre accanto al primo resto e separiamo l’ultima cifra a destra con un punto. 1 2 8.0 Raddoppiamo la prima cifra del risultato finora calcolato (1  2 = 2) e la trascriviamo sotto l’uno. 1 2 8.0 2 Calcoliamo il quoziente, approssimato per difetto, 28 : 2 = 14. Siccome il quoziente è maggiore di 9, non possiamo accettarlo e dobbiamo considerare come quoziente 9 che va scritto accanto al 2. 1 2 8.0 29 Radice quadrata

Seconda cifra di radice L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Seconda cifra di radice Moltiplichiamo 29 per il quoziente 9 (29  9 = 261 < 280). Tale numero è la seconda cifra della nostra radice. 1 2 80 29  9 = 261 9 Calcoliamo il secondo resto sottraendo il prodotto ottenuto da 280 (280 – 261 = 19). 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 Secondo resto Radice quadrata

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Abbassiamo il terzo gruppo di cifre, che inseriamo accanto al secondo resto e stacchiamo l’ultima cifra a destra. 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 2.5 Raddoppiamo il numero formato dalle prime due cifre della radice (19  2 = 38), oppure sommiamo i due fattori del primo prodotto (29 + 9 = 38), e lo trascriviamo sotto la riga orizzontale. 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 2.5 38 Radice quadrata

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Calcoliamo il quoziente approssimato per difetto tra 192 e il valore della seconda radice raddoppiata (192 : 38 = 5) e lo scriviamo accanto al 38. 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 2.5 38 5 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 2.5 385 Moltiplichiamo il valore ottenuto per lo stesso quoziente approssimato, cioè per 5 (385  5 = 1 925).  5 = 1 925 Radice quadrata

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata Calcoliamo il terzo resto sottraendo il prodotto ottenuto da 1 925 (1 925 – 1925 = 0). 1 2 80 29  9 = 261 9 2 61 19 5 2.5 385  5 = 1 925 19 2.5 Avendo ottenuto come terzo resto 0, il calcolo della radice si conclude. L’ultimo quoziente ottenuto (5) rappresenta la terza cifra di radice. Terzo resto NB. Se il numero considerato non è un quadrato perfetto si possono calcolare le cifre decimali della radice aggiungendo la virgola e due zeri al radicando e procedendo poi con la tecnica descritta. Radice quadrata