APPROFONDIMENTI CON ESEMPI DI CAMPIONAMENTO E SUCCESSIVA RICOSTRUZIONE PER INTERPOLAZIONE LINEARE Nelle pagine che seguono sono riportati i risultati del campionamento REALE di un segnale sinusoidale alla frequenza di 1 KHz, con un’ampiezza di 15 Volt picco picco e valore medio pari a zero. I campionamenti sono stati effettuati con diversi valori della frequenza di campionamento, mediante un campionatore con A/D a 12 bit (Intelligent Instrumentation- Burr Brown). Nelle successive figure sono mostrati i grafici interpolati ed i grafici contenenti solo i campioni. Nella Fig. di seguito riportata sono inserite delle scritte di spiegazione di alcune parti che costituiscono le immagini relative ai diversi esempi. Frequenza di campionamento Asse dei valori di tensione (Volt) Asse dei tempi (millisecondi) Ricostruzione del segnale Modalità di visualizzazione: interpolazione/campioni

CAMPIONAMENTO A 20.000 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 20 volte la frequenza del segnale sinusoidale (si supera ampiamente la condizione imposta dal teorema del campionamento). Si vede come la ricostruzione del segnale risulti praticamente perfetta. In effetti vi sono ben 20 punti (campioni) per ogni periodo della sinusoide. Con un campionamento di tale tipo non solo si ottiene una perfetta descrizione dell’andamento del segnale, ma anche il segnale stesso con una precisione veramente notevole.

CAMPIONAMENTO A 10.000 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 10 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come la ricostruzione del segnale risulti abbastanza buona. In effetti vi sono 10 punti (campioni) per ogni periodo della sinusoide.Con un campionamento di tale tipo non solo si ha l’andamento del segnale, ma anche il segnale stesso con una precisione buona.

CAMPIONAMENTO A 10.000 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 10 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come i diversi campioni siano abbastanza vicini l’uno all’altro, potendo consentire, così, una buona ricostruzione del segnale originario.

CAMPIONAMENTO A 5.000 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 5 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come la ricostruzione del segnale risulti discreta, anche se con l’interpolazione lineare non salta fuori proprio una sinusoide. Vi sono solamente 5 punti (campioni) per ogni periodo della sinusoide. Con un campionamento di tale tipo si ha una buona idea dell’andamento del segnale, ma una idea approssimata del segnale stesso.

CAMPIONAMENTO A 5.000 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 5 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come i diversi campioni non siano più abbastanza vicini l’uno all’altro, ma si trovino ad una certa distanza (temporale). Ciò spiega la ricostruzione per interpolazione della figura precedente, nella quale la forma sinusoidale appare solo vagamente.

CAMPIONAMENTO A 3.100 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 3,1 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come la ricostruzione del segnale risulti alquanto approssimativa, (il segnale interpolato non si può definire certamente sinusoidale), vi sono solamente poco più di tre punti (campioni) per ogni periodo della sinusoide.Con un campionamento di tale tipo si ha una corretta conoscenza del periodo della sinusoide campionata, anche se la ricostruzione, per interpolazione, risulta alquanto approssimativa. 1ms

CAMPIONAMENTO A 3.100 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 3,1 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Si vede come i diversi campioni risultino alquanto spaziati l’uno rispetto all’altro, ma che contengano una informazione temporale corretta, anche se limitata. In effetti il periodo della sinusoide campionata è rilevabile dai campioni, che mostrano la periodicità del segnale sinusoidale di partenza.

CAMPIONAMENTO A 2.500 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 2,5 volte la frequenza del segnale sinusoidale, cioè in una condizione che supera di poco il limite minimo della frequenza di campionamento (2000 c/s) definito dal teorema del campionamento (Shannon). Si vede ancora un segnale periodico e la stima del periodo risulta corretta, se mediata su due o tre periodi. La ricostruzione mediante interpolazione risulta alquanto approssimata. 3 ms

CAMPIONAMENTO A 2.500 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 2,5 volte la frequenza del segnale sinusoidale, cioè in una condizione che supera di poco il limite minimo della frequenza di campionamento (2000 c/s) definito dal teorema del campionamento (Shannon). I campioni risultano alquanto distanti tra loro, ma ancora in una condizione che consente una determinazione del periodo del segnale originario, anche se la determinazione dell’ampiezza si può effettuare solo in modo approssimato.

CAMPIONAMENTO A 1.900 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,9 volte la frequenza del segnale sinusoidale, cioè in una condizione che non supera supera il limite minimo della frequenza di campionamento (2000 c/s) definito dal teorema del campionamento (Shannon). I campioni ottenuti forniscono un’informazione certamente non accettabile (sembra che l’ampiezza della sinusoide vari nel tempo con un periodo di variazione di circa 10 ms), anche se il periodo della sinusoide di partenza risulta in qualche modo stimabile. 5 ms Attenzione: scala dei tempi modificata rispetto alle figure precedenti

CAMPIONAMENTO A 1.900 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,9 volte la frequenza del segnale sinusoidale. Dai campioni mostrati nella figura seguente si vede come il segnale della figura precedente non sia di fantasia, ma sia effettivamente ottenuto congiungendo tra loro i campioni. Sembra ci sia la presenza di un segnale ad ampiezza variabile, ma in realtà la sinusoide di partenza è ad ampiezza costante.

CAMPIONAMENTO A 1.500 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,5 volte la frequenza del segnale sinusoidale, cioè in una condizione assolutamente non accettabile per il teorema del campionamento (Shannon). I campioni ottenuti forniscono un’informazione errata, non solo come andamento ma soprattutto come informazione temporale: il segnale campionato sembra avere un periodo di 2 ms e non di 1 ms, come invece è realmente. L’informazione è errata. 10 ms

CAMPIONAMENTO A 1.500 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,5 volte la frequenza del segnale sinusoidale. In tale condizione passano tre quarti di periodo della sinusoide tra un campione ed il successivo. Tale modo di campionare oltre a far perdere una notevole quantità di informazione, introduce un notevole errore anche nella interpretazione del segnale (errore di aliasing).

CAMPIONAMENTO A 1.100 CAMPIONI AL SECONDO (segnale interpolato) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,1 volte la frequenza del segnale sinusoidale e si presenta un fenomeno particolare: il segnale campionato sembra sinusoidale ma se si osserva il periodo si scopre che è assolutamente errato. In pratica viene fatto poco più che un campione per periodo, traslato nel tempo di circa un decimo di di periodo, della sinusoide, uno rispetto all’altro. Il risultato è una sequenza di campioni, mostrata nella Fig. successiva, che si può definire ingannevole. 10 ms

CAMPIONAMENTO A 1.100 CAMPIONI AL SECONDO (solo i campioni) Siamo nella condizione di frequenza di campionamento pari a 1,1 volte la frequenza del segnale sinusoidale. L’errore di aliasing risulta molto vistoso, dovuto al fatto che viene fatto poco più di un campione per periodo. La successione dei campioni sembra proprio mostrare una sinusoide, ma ciascun campione è relativo ad un periodo successivo del segnale sinusoidale campionato, quindi la successione dei campioni non può fornire una ricostruzione attendibile del segnale campionato.