esempi e definizioni per modelli di Programmazione Lineare 1a parte marzo 2010 03/01/2019

Preparazione scientifica delle decisioni Fattori essenziali variabili Relazioni  vincoli Politica da perseguire funzione obiettivo 03/01/2019

Problemi di programmazione uso efficiente o allocazione di risorse limitate per raggiungere obiettivi sotto particolari condizioni. soluzioni: soddisfano le condizioni di base soluzione/i ottima/e: soluzione/i che soddisfa/no le condizioni del problema e l’obiettivo 03/01/2019

Esempio Base Produzione di porte e finestre REPARTO 1: intelaiature metalliche REPARTO 2: prodotti in legno REPARTO 3: vetri e assemblaggio Riorganizzazione Produzione  nuovi prodotti PRODOTTO 1: porte a vetri con cornici in alluminio PRODOTTO 2: finestre con cornici in legno 03/01/2019

analisi Reparto marketing  Politica di produzione Analisi attività per  reparto : 1) capacità di produzione % per u.t.per nuovi prodotti, 2) risorsa % utilizzata per u.t. per unità di prodotto, 3) profitto unitario  nuovo prodotto. 03/01/2019

analisi problema risorse disponibili nell’u.t. REP.1: 4% di capacità di lavorazione totale REP. 2: 12 % di capacità di lavorazione totale REP. 3: 18 % di capacità di lavorazione totale risorsa richiesta per la produzione unitaria. PROD.1(porte): 1% capacità del REP.1 3% capacità del REP.3 PROD.2(finestre): 2% capacità del REP.2 2% capacità del REP.3 profitto per unità prodotta PROD.1: 3 $ ; PROD.2: 5 $ 03/01/2019

capacità di produzione 1 0 0 2 3 2 REP. PROD.1 PROD.2 (%) cap. max prod. (% per u.t.) 1 2 3 4 12 18 profitto unitario 3 5 03/01/2019

formulazione matematica Variabili di decisione x1 quantità di porte prodotte nell’u.t. x2 quantità di finestre prodotte nell’u.t. z profitto nell’u.t. Funzione obiettivo (F.o.) Max z = 3x1 + 5x2 profitto nell’u.t. Vincoli R1 x1  4 R2 2x2  12 R3 3x1 + 2x2  18 x1 ,x2  0 03/01/2019

Rappresentazione grafica x2 x1 2 x2 = 12 3 x1 + 2 x2 = 18 x1 = 4 K (2,6) (4,3) 3 x1 + 5 x2 = 15 3 x1 + 5 x2 = 18 3 x1 + 5 x2 = 36 R1 x1  4 R2 2x2  12 R3 3x1 + 2x2  18 x1 ,x2  0 Max z = 3x1 + 5x2 03/01/2019

Sistema È un insieme di elementi intercorrelati. È una entità composta da almeno due elementi e da una relazione che lega ciascun elemento ad almeno un altro elemento dell’insieme. Nella PL il sistema è scomposto in attività 03/01/2019

Risorse in ingresso Attività Risorse in uscita graficamente Attività = processo che trasforma risorse in ingresso in risorse in uscita 03/01/2019

Costruzione modello matematico Passi fondamentali: Definizione gruppo di attività ( j=1,    , n) (componenti elementari e relativa unità di misura) 2. Definizione gruppo di risorse (i=1,    ,m) 3. Determinazione coefficienti I/O (aij) (quantità di risorse consumate o prodotte per far raggiungere il livello unitario alle attività) 4. Determinazione flussi esogeni(bi) (quantità di riscorsa scambiata fra sistema e l’esterno) 5. Stesura equazioni di bilancio materiale (assegnazione livelli incogniti xj alle attività). 03/01/2019

Ipotesi della P.L. Proporzionalità: singola attività- livello dell’attività j (xj) è proporzionale a costi (cj xj ) e a flussi di risorsa(aij xj ); Additività: uso globale della risorsa, no interazioni Costo totale è somma dei costi delle singole attività, contributo totale dell’i-esimo vincolo è somma dei contributi delle singole attività; Divisibilità: è consentito qualsiasi livello frazionario delle variabili decisionali; Determinismo: coefficienti aij ,bi , cj sono noti in modo deterministico 03/01/2019

Formulazione matematica min c1x1+······+ cnxn con i vincoli a11x1+······+ a1nxn b1 a21x1+······+ a2nxn  b2 ················· am1x1+······+ amnxn  bm x1,··········, xn  0 con aij quantità di principio nutritivo i contenuto nel cibo j bi la quantità minima di principio nutritivo i da assumere giornalmente con la dieta ( con i=1, ······,m) 03/01/2019

Programmazione lineare classe di problemi di programmazione caratterizzata da: condizioni relazioni lineari (vincoli) a1x1+······+ anxn b (o  b) con ai , b costanti note con xi variabili da determinare obiettivo funzione lineare (funzione obiettivo) max (o min) c1x1+······+ cnxn con ci costanti note 03/01/2019

Programmazione lineare forma standard max (o min) c1x1+······+ cnxn (f.o) con le condizioni: a11x1+······+ a1nxn= b1 a21x1+······+ a2nxn= b2 ················· (vincoli) am1x1+······+ amnxn= bm x1,··········, xn  0 con aij , bi costanti note; xi variabili; m<n 03/01/2019

Variabili di slack Variabili di slack hanno associato costo nullo min c1 x1+c2 x2 x1+x2 6 x1+x2+ x 3 = 6 x2  3  x2 + x4 = 3 x1,x2 0 x1,x2 ,x3,x4 0 Variabili di slack hanno associato costo nullo f.o. min c1 x1+c2 x2  min c1 x1+c2 x2 +0 x3+0x4 03/01/2019

Variabili di surplus Variabili di surplus hanno associato costo nullo min c1 x1+c2 x2 x1+x2  6 x1+x2- x 3 = 6 x2 3  x2 - x4 = 3 x1,x2 0 x1,x2 ,x3,x4 0 Variabili di surplus hanno associato costo nullo f.o. min c1 x1+c2 x2  min c1 x1+c2 x2 +0 x3+0x4 03/01/2019

Problemi di Programmazione Intera Razionalizzazione lavori stradali Problemi di localizzazione 03/01/2019

Razionalizzazione lavori stradali ridurre al min gli scassi in alcune strade per installare sfiati su alcune tubature nota la dislocazione di m tubi sotto n parti di strada, n1......nm indicano le parti di strada cui appartiene ciascuna tubatura 03/01/2019

Razionalizzazione lavori stradali: modello Variabili : indicatori associati a parti di strada . Vincoli Obiettivo 03/01/2019