Ricerca Operativa 2a parte 16/01/2019 1

Insiemi convessi Def. C  Rn è insieme convesso se  x1 , x2  C,  [0,1],  R  x= x1 + (1- )x2 C. Prop.1 per gli insiemi convessi di Rn valgono: Se C è convesso   R, C è convesso Se C e D sono ins.convessi anche C+D è un ins convesso L’intersezione di 2 ins. convessi è un convesso 16/01/2019

x2 x1 è punto estremo x2 e x3 non sono punti estremi x3 x1 Def. x  C è un punto estremo se non può essere espresso come combinazione convessa (in senso stretto) di due punti distinti di C. x= x1 + (1- )x2  C,  (0,1), x1 , x2  C  x= x1 =x2 . x2 x1 è punto estremo x2 e x3 non sono punti estremi x3 x1 16/01/2019

Iperpiani e semispazi (a è detto normale o gradiente dell’iperpiano) H = {x Rn : aT x = b} def. iperpiano (a è detto normale o gradiente dell’iperpiano) oppure un iperpiano H consiste dei punti x=(x1,…,xn) t.c. a1x1 +…+ anxn = b, se si considera x0 H, x0 punto fisso: H = {x Rn : aT (x – x0) = 0} H+ = {x Rn : aT x  b} semispazio positivo H+  H- = Rn H+  H- = H Es. H+ = {x :2x1- x2  1}, H- = {x :2x1- x2  1} 16/01/2019

Es. in R2 Es. in R3 semispazio H+={x R2: aT (x- x0)0 Direzione di aT Direzione di x- x0 x0 x Iperpiano H H+ Es. in R3 aT x x0 H H- 16/01/2019

Esempi in R2 e in R3 H- H+ x2 es. in R2 2x1- x2 = 1 aT H+ H- x1 x2 (0,-1) (1/2,0) es. in R2 Retta in R2 aT = (a1,a2)= (2,-1) aT x=b aT x=(2,-1) = 2x1- x2=1 H+ ={x: 2x1- x2  1} H- ={x: 2x1- x2  1} H ={x: 2x1- x2 = 1} Piano in R3 Iperpiano in Rn 16/01/2019

Coni C  Rn cono se x  C  x C  0 Cono convesso = ins. convesso che è anche un cono Oss. 1) Cono convesso contiene l’origine, 2) dati x  C  il raggio {x:  0 } C  cono convesso = ins. convesso costituito dai raggi uscenti dall’origine in R3 16/01/2019

Direzioni di ins.convesso e direzioni estreme {x0 +d:   0} raggio con d 0, x0 punto, d =direzione del raggio d1 e d2 sono distinti, se d1 non rappr. come multiplo d2, 1,2 > 0  1d1+ 2 d2 0 direz. qualsiasi Direzione estrema= direzione di un insieme convesso che non può essere rappresentata come combinazione positiva di due direzioni distinte Raggio estremo = raggio contenuto nell’insieme convesso la cui direzione è una direzione estrema Cono convesso è caratterizzato dai suoi raggi estremi 16/01/2019

esempi in R2 d1=(2,1) d2=(0,1) direzioni estreme x2 d1=(2,1) d2=(0,1) C= {(x1,x2 ): x1 >0, x1 2 x2} cono convesso In generale C cono convesso generato da d1,.., dk. d1=(2,1) d2=(0,1) x1 x2 16/01/2019

x2 X = {x : A x b, x 0} Politopo = ins. poliedrale limitato x1 def 5) 4) 3) 2) 1) Esempio in R2 1) -2x1+x2  4 (v.ridondante) 2) x1+x2  3 3) x1  2 4) x1  0 x2  0 X = {x : A x b, x 0} Politopo = ins. poliedrale limitato 16/01/2019

Cono poliedrale (particolare classe di insiemi poliedrali) Cono poliedrale =  di n.ro finito di semispazi i cui iperpiani passano per l’origine C = {x :Ax  0} 16/01/2019

Es. C = {x : -x1-x2  0, x1-3x2  0} x1+x2 = 0 x1-3x2 = 0 16/01/2019

x=(1,2) x2 x1-x2=0 x1-2x2=0 x1 a1T=(1,-1) a2T=(1,-2) C = {x :x1-x2  0, x1-2x2  0} x=(1,2) x2 x1-x2=0 x1-2x2=0 x1 a1T=(1,-1) a2T=(1,-2) 16/01/2019

Def. geometrica di punto estremo X = {x : A x b, x  0} ins. poliedrale di Rn Def: Iperpiani di definizione = iperpiani associati agli m+n semispazi che definiscono X. Prop: L’insieme degli iperpiani di definizione è costituito da elementi lin. indip. se la matrice dei coeff. associata a tale ins. di equazioni ha rango massimo per righe Def: x X è punto estremo(o vertice) se giace su n iperpiani di def di X lin. indip. 16/01/2019

Punti estremi in R3 C punto estremo degenere, ordine degenerazione=1 A punti estremi non degeneri B Punto estremo degenere = se più di n iperpiani passano per quel punto. Ordine di degenerazione = n.ro di iperpiani che eccedono gli n iperpiani di definizione Insieme poliedrale degenere = ins.poliedrale con almeno un punto estremo degenere N.B. Non ci sono vincoli ridondanti, non si può togliere nessun iperpiano 16/01/2019

Soluzioni di base (da Ax=b ) casi: Rango (A,b)> Rango (A)  non sol Rango (A,b) = Rango (A) = k , k < n Sia A = (B, N) con B = matrice di base di Rm k = n,  una sola soluzione dim(B)=m ( cioè det.B0), N= matrice mx(n-m), dim(xB)=m, dim(xN)=n-m 16/01/2019

Definizioni(1/2) Soluzione Base(SB): vettore x che soddisfa (•), dato il P.P.L. in forma standard: min cx Ax=b (•) x  0 (••) sia X={x: Ax=b, x 0 } l’insieme delle soluzioni al sistema di vincoli Soluzione Base(SB): vettore x che soddisfa (•), x ha n-m componenti nulle, il determinante dei coefficienti 0; Variabili di Base: componenti di x associate alle colonne di B Soluzione Base Degenere : se una o più variabili di base è nulla. 16/01/2019

Definizioni (2/2) Soluzione Possibile(SP): vettore x X t. c. Ax=b e x 0 Soluzione Base Possibile(SBP): una SP che sia anche di base; Soluzione Base Possibile non degenere: una SBP con esattamente m componenti positive; Soluzione Possibile Ottima(SPO): una SP che soddisfa la f.o.; Soluzione Base Possibile Ottima(SBPO): una SPO che che sia anche di base. 16/01/2019

esempio 16/01/2019

Rappresentazione grafica in R3 x3 Rappresentazione grafica in R3 P2=(0,0,5) (0, 10/3,0) x2 (5,0,0) x1 P1=(5,10/3,0) 16/01/2019

Spazio di riferimento m (delle attività) Dati i vettori colonna a1,..., an si vogliono trovare gli scalari x1,...,xn t.c.valgano le relazioni formano un cono C generato da a1,..., an Il problema ammette soluzione possibile se bC 16/01/2019

Spazio di riferimento Rm =R2 in R2 a4 a2 a1 a3 b b1 Spazio di riferimento Rm =R2 Vincoli di = 16/01/2019

Spazio di riferimento Rm, Vincoli di  b b1 16/01/2019

Spazio di riferimento da R1 a R2 (2,0) (1,0) (2,-3) (1,-2) Punti della forma 16/01/2019

Z* = - (2,0) (0,0) (-1,0) (2,-3) (1,-2) Punti della forma 16/01/2019

Soluzioni in Rn (spazio delle delle risorse) L’insieme delle soluzioni di un P.P.L. è un insieme convesso K (K è  di ins. finito di vincoli lineari Ax=b ) K può essere: Insieme vuoto Poliedro convesso limitato Poliedro convesso illimitato 16/01/2019

Seguono da teor fondamentale e teor di equivalenza La f.o. assume il min in un p.to estremo dell’ins.convesso delle s.p. al problema. Se assume il min in più di un p.to estremo  lo assume in p.to combinazione convessa di questi. Seguono da teor fondamentale e teor di equivalenza 16/01/2019

Rappresentazioni in R2 x2 A) K x1 x2 B) x1 Poliedro convesso limitato Sol. ottima A) Poliedro convesso limitato x2 x1 Infiniti ottimi alternativi B) 16/01/2019

Poliedro convesso illimitato Sol. ottima x2 x1 Infinite sol. ottime K Poliedro convesso illimitato D) E) x2 x1 Non esiste sol. ottima finita K 16/01/2019

Teorema Fondamentale della P.L.(1/3) Dato un PPL in forma standard con Rango (A) = m Se  sol. possibile  sol. base possibile Se  sol.poss.ottima  sol.base poss.ottima dim. - Sia xT = (x1,...,xn) sol.poss  x1a1+..+xnan= b - esattamente p delle xi variabili siano positive  x1a1+..+xpap= b 1.1 a1,.., ap lin. indip. 1.2 a1,.., ap lin. dip. 16/01/2019

Teorema Fondamentale (2/3) caso1.1 a1,.., ap lin. indip. Deve essere p  m se p = m s.b.p. se p  m o s.b.p. o s.b.p.degenere caso1.2 a1,.., ap lin. dip.  y1a1+..+ypap=0 con y1,..,yp cost. non tutte nulle A(x- y)=b con xT = (x1,...,xp,0,..,0) yT = (y1,...,yp,0,..,0)  caso 1.1 16/01/2019

Esempio(2bis/3) è s.p. di 16/01/2019

Teorema Fondamentale (3/3) 2. Sia xT = (x1,...,xn) sol.poss ottima cT x = min - esattamente p delle xi variabili siano positive 2.1 a1,.., ap lin. indip. (come caso 1.1) 2.2 a1,.., ap lin. dip. (come per 1.2, ma si deve dim che  (x- y) sol. ottima cT(x- y) = cTx-  cTy  cTy = 0 ) Dal Teor. Fondamentale  la soluzione a un PPL si riduce alla ricerca di SBP, con n variabili e m vincoli si ha al più 16/01/2019

Teor. Equivalenza fra punti estremi e soluzioni base possibili x è punto estremo di K  x è SBP per Ax=b (*) x0 (**) Dim. X SBP  X punto estremo X punto estremo  X SBP 16/01/2019

Corollari 1/2 Coroll.1: Se l’insieme convesso K corrispondente a { Ax=b , x0 } è  ins. vuoto   almeno un punto estremo. Coroll.2: Se  una Soluzione Ottima finita ad un PPL   una SO finita che è punto estremo dell’insieme dei vincoli. 16/01/2019

Corollari 2/2 Coroll.3:L’insieme dei vincoli K corrispondente a {Ax=b , x0 } ha al più un numero finito di punti estremi. Coroll.4: Se K è un poliedro convesso corrispondente a { Ax=b , x0 }, allora K consiste di punti combinazione convessa di un numero finito di punti. 16/01/2019

da teor di equivalenza e corollario 3  Teor.:Se la f.o. assume il suo ottimo in più di un punto estremo lo assume anche in ogni punto combinazione convessa di essi. N.B. SBP  Punti estremi SBP  Matrici di base 16/01/2019

Esempio di SBP degenere x1=(1,0,0) x3=(1/2,1/2,0) x2=(0,1,0) 16/01/2019

Spazio di riferimento Rn x2 x3 (2,-1,0) (0, 1/3,2/3) (1/2,0, 1/ 2) x1 Punti estremi adiacenti giacciono su uno spigolo comune x1+ x2+x3 = 1 2x1+3 x2 = 1 x1 , x2 , x3  0 16/01/2019

Spazio di riferimento Rm x1+ x2 +x3 = 1 2x1+3 x2 = 1 x1 , x2 , x3  0 a2 a1 a3 b 16/01/2019

Esempio x2 x1 P1=(3,3) P3=(0,3) P5=(0,0) 16/01/2019

Esempio vincolo ridondante x2 x1 (0,6) (0,3) P2=(6,0) P5=(0,0) (spigolo, 1var nulla) (vertice ,2 var nulle) 16/01/2019