Analisi e gestione del rischio Lezione 13 Modelli strutturali

Modelli strutturali L’approccio di Merton Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente La probabilità di default Il recovery rate nell’evento di default Il valore del debito e del capitale dell’impresa Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni

Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)

Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–B,0)

Il modello di Merton Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità. Il rischio di default è descritto dal pay-off Valore del debito alla maturità = min (B,V(T)) …e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè Debito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)

Modigliani-Miller Dalla relazione di parità tra opzioni put e call abbiamo V = B – put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T) V = valore dell’attivo (valore dell’impresa) Call(V,t; B, T) = Valore del capitale La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default

Debito junior e senior Assumiamo che il debito B sia costituito da debito senior, con valore facciale S, e debito junior il cui valore facciale era J. Allora, B = S + J. Sappiamo che: Debito(t) = v(t,T)B – Put (V,t;B,T) Lungo la stessa linea abbiamo Senior (t) = v(t,T)S – Put (V,t;S,T) Il valore del debito junior è quindi Debito(t) = v(t,T)(B – S) – Put (V,t;B,T) + Put (V,t;S,T) = v(t,T)J – Put (V,t;B,T) + Put (V,t;S,T)

Il debito junior è un call spread La perdita attesa del debito junior è lo spread due opzioni put. Usando la parità put call v(t,T)B – Put(V,t;B,T) = V(t) – Call(V,t;B,T) v(t,T)S – Put(V,t;S,T) = V(t) – Call(V,t;S,T) abbiamo Debito Junior (t) = v(t,T)(B – S) – Put (V,t;B,T) + Put (V,t;S,T) = = Call(V,t;S,T) – Call (V,t;B,T) e il valore del titolo junior è uno spread call.

Payoff del debito junior

Modello di Merton Valore dell’impresa: processo geometrico browniano dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t) Valore del capitale: un’opzione call

Modello di Merton Il valore del debito: …può essere scomposto come…

Modello di Merton …debito default-free meno una default put option …e in termini moderni…

Modello di Merton …debito default-free per (1 – Dp x Lgd) Dp = Default probability Lgd = Loss given default = 1 – RR Quasi-debt to firm value (quasi-leverage) d = Bexp(–r(T – t))/V(t)

Copertura del rischio di credito Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1)) Strategia 1: acquistare una default put/swap Si tratta di un derivato di credito che consente di acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito Strategia 2: vendere azioni dell’emittente Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato

Modello KMV™ Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della non-normalità della distribuzione

Modello KMV Nel caso in cui le azioni siano quotate sul mercato, il valore del capitale può essere utilizzato per ricavare la probabilità di default di un’azienda. Nel modello KMV si utilizza un sistema non lineare di due equazioni in due incognite:

Distance to default (DD) La probabilità di default nel modello di Merton model è data da N(-d2). L’idea di KMV è di utilizzare l’argomento della funzione come una misura della «distanza dal default» (DD).