Disequazioni con il valore assoluto
Esempio 1 𝑥−4 >−2𝑥+1 Studio del segno: 𝑥−4 = 𝑥−4 𝑠𝑒 𝑥≥4 −𝑥+4 𝑠𝑒 𝑥<4 Quindi l’insieme delle soluzioni dell’equazione è l’UNIONE delle soluzioni di due sistemi: PRIMO SISTEMA 𝑥≥4 𝑥−4>−2𝑥+1 SECONDO SISTEMA 𝑥<4 −𝑥+4>−2𝑥+1
I sistema 𝑥≥4 𝑥> 5 3 II sistema 𝑥<4 𝑥>−3 𝑆 1 :𝑥≥4 𝑆 2 :−3<𝑥<4 𝑆= 𝑆 1 ∪ 𝑆 2 = −3,4 ∪ 4, +∞ = −3,+∞ cioè x>-3
CASI particolari 𝑨 𝒙 < k con k∈ 𝓡 + Esempio 𝑥 <10 In base a quanto visto dobbiamo risolvere: sistema 1 𝑥≥0 𝑥<10 sistema 2 𝑥<0 −𝑥<10 ossia 𝑥<0 𝑥>−10 𝑆 1 :0≤𝑥<10 𝑆 2 :−10<𝑥<0
È equivalente a risolvere L’unione delle due soluzioni da come risultato: S: -10<x<10 REGOLA GENERALE 𝑨 𝒙 < k con k>𝟎 È equivalente a risolvere -k<𝑨 𝒙 <k Ossia 𝑨 𝒙 >–k 𝑨 𝒙 <k
NOTA CHE IN QUESTO CASO LA DISEQUAZIONE NON HA SOLUZIONI 𝑨 𝒙 < k con k≤𝟎 NOTA CHE IN QUESTO CASO LA DISEQUAZIONE NON HA SOLUZIONI
In base a quanto visto dobbiamo risolvere: 𝑨 𝒙 > k con k∈ 𝓡 + Esempio 𝑥 >8 In base a quanto visto dobbiamo risolvere: sistema 1 𝑥≥0 𝑥>8 sistema 2 𝑥<0 −𝑥>8 ossia 𝑥<0 𝑥<−8 𝑆 1 :𝑥>8 𝑆 2 :𝑥<−8
È equivalente a risolvere L’unione delle due soluzioni da come risultato: S: 𝑥<−8 ∨ 𝑥>8 REGOLA GENERALE 𝑨 𝒙 > k con k>𝟎 È equivalente a risolvere 𝑨 𝒙 <-k ∨ 𝑨 𝒙 >k
𝑨 𝒙 > k con k≤𝟎 Se k<0 la disequazione è SEMPRE VERIFICATA Se k=0 la disequazione è SEMPRE VERIFICATA TRANNE PER I VALORI PER CUI A(x) = 0