Forme e modelli frattali MATEMATICA & REALTA’ Corso di formazione 2006 Senigallia 13-15 ottobre Forme e modelli frattali

Figure e modelli frattali Il nuovo linguaggio frattale introduce - attraverso processi iterativi - una “dinamica” nel modello descrittivo della geometria Euclidea

i 0 u0 i1 u1 i2 T u2 i3 Processo iterativo: trasformazione che si ripete …più e più volte

Processo iterativo su figure Esempio: Zoom di una fotocopiatrice

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75%

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75% Successione di figure iterate

Alcuni frattali classici…

Il merletto a trina di Helge von Koch Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

Il merletto a trina di Helge von Koch F0 F1 F2

Il merletto a trina di Helge von Koch Nel 1904 il matematico svedese Helge Von Koch introdusse una curva molto particolare, descritta mediante un processo iterativo. Curva di Koch generata in turbo Pascal da Benedetta Palladino e Giorgia Quintaliani classe IV (a.s. 2000-2001), Liceo Scientifico Galilei, Perugia Tutor: Prof. Fiorella Menconi

La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

La gerla di Sierpinski Nel 1916 il matematico polacco Waclaw Sierpinski propose una figura molto particolare, descritta mediante un processo iterativo.

Il tappeto di Sierpinski F0 start F1 F2 F3

Il tappeto di Sierpinski

Frattali IFS (iterated functon system) Cosa hanno in comune queste tre costruzioni ? Il modello iterativo … lo stesso della fotocopiatrice Successione di figure iterate “generate” da una trasformazione T La successione evolve verso una figura limite che è la figura frattale

Quale trasformazione T ?

La gerla di Sierpinski T F1 F0 start T è composta da tre trasformazioni

La gerla di Sierpinski F1 F0 start T1 T1 contrazione di 1/2

La gerla di Sierpinski F1 F0 start T3 T2 T1 T1 contrazione di ½ T1 contrazione di ½ + traslazione

La gerla di Sierpinski F1 F0 start T3 T2 T1 T1 contrazione di ½ T1 contrazione di ½ + traslazione T3 contrazione di ½ + traslazione

Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T1 F1 T è composta da qattro trasformazioni

Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T1 F1 T1 contrazione di 1/3

Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T2 T1 F1 T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione

T = (T1,T2,T3) Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T2 T3 T1 F1 T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T3 contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T = (T1,T2,T3)

T = (T1,T2,T3,T4) Il merletto a trina di Helge von Koch F0 T2 T3 T1 T4 T1 contrazione di 1/3 T2 contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T3 contrazione di 1/3 + traslazione + rotazione T4contrazione di 1/3 + traslazione T = (T1,T2,T3,T4)

Le trasformazioni di tutti e quattro i processi sono contrazioni Tutti e tre i processi evolvono verso una figura…

Zoom di una fotocopiatrice Processo iterativo su figure Zoom di una fotocopiatrice Riduzione al 75% T è una contrazione La successione evolve verso il centro dei quadrati

Il teorema di Caccioppoli Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F* Una figura fissa è una figura su cui la trasformazione non produce alcun effetto!

La figura fissa è l’attrattore del processo. Il teorema di Caccioppoli Ogni contrazione T ammette unica figura fissa T(F*) = F* Qualunque sia la figura start F0 la successione delle figure iterate generata da T evolve verso la figura fissa. La figura fissa è l’attrattore del processo.

Frattali IFS : metodo del codice genetico

Codice genetico di un frattale Il frattale è individuato dalla sola trasformazione T che funge da codice genetico

Codice della gerla di Sierpinski T1

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice della gerla di Sierpinski T3 T1 T2

Codice del merletto a trina di Helge von Koch F0 F1

Codice del merletto a trina di Helge von Koch T1 Contrazione di 1/3

Il merletto a trina di Helge von Koch T4 Contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3

Codice del merletto a trina di Helge von Koch T3 contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 2/3 + rotazione di 1200

Codice del merletto a trina di Helge von Koch T2 contrazione di 1/3 + traslazione a destra di 1/3 + rotazione di 600

Codice del merletto a trina di Helge von Koch F0 T=(T1,T2,T3,T4) F1

Il merletto a trina di Helge von Koch Codice genetico della trina di Koch

Il merletto a trina di Helge von Koch Codice genetico della trina di Koch

Forme e figure frattali …

Ai esempi di frattali

Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura IV convegno Innovamatica Esperienze a confronto Perugia, 10-11 aprile 2002 Maila Agostini – Valeria Fabbri – Jonathan Monti Classe IV Prof. Maria Vittoria Buzzi Liceo scientifico Galilei, Terni