Analisi e gestione del rischio Lezione 14 – Modelli intensity-based

Limiti del modello di Merton Il modello di Merton produce: Sottovalutazione dell’opzione di default put e dei credit spread; 2) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata su scadenze brevi 3) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata per emittenti di standing creditizio più elevato.

L’approccio in forma ridotta Nell’approccio in forma ridotta i credit spread sono ottenuti direttamente sulla base di un modello statistico della probabilità di default dei debitori. Tipicamente, per modellare la probabilità di default è usato un processo di Poisson, che è caratterizzato da un parametro definito “intensità”: per questo questi modelli sono chiamati “intensity based” Mentre i modelli strutturali sono basati sulla teoria delle opzioni, quelli in forma ridotta usano la teoria della struttura a termine.

Un modello di credit spread Ricordiamo che il credit spread è ottenuto come r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q )(1 – RR)]/(T – t) dove Q è la probabilità di sopravvivenza e RR è il tasso di recupero. Assumendo un recovery rate pari a zero otteniamo r*(t,T) – r(t,T) = – ln[Q]/(T – t) A differenza dai modelli strutturali, la probabilità di sopravvivenza per ogni tempo T, cioè Prob ( > T), è determinata utilizzando un processo di Poisson.

Intensità di default L’intensità di default è la probabilità di default condizionale istantanea

Probabilità ( > T) = exp (–  (T - t)) Intensità di default Se l’evento di default è modellato come un processo di Poisson otteniamo Probabilità ( > T) = exp (–  (T - t)) Il parametro  è conosciuto come intensità del processo e definisce la probabilità che il titolo vada in default tra il temp t e t + dt. Consideriamo un modello molto semplice nel quale: i) l’intensità è costante; ii) il tasso di recupero è zero In questo caso, per tutte le maturità T il credit spread è r*(t,T) - r(t,T) = 

Modelli a intensità variabile Se il parametro di intensità non è fisso, ma si assume che cambi al passare del tempo, il modello può generare curve dei credit spread di forma più generale di quella piatta legata al modello di Poisson In generale, abbiamo r*(t,T) – r(t,T) = (t,T) …dove (t,T) è la media integrale dell’intensità di default da t a T, esattamente come il rendimento a scadenza è la media integrale dei tassi forward Per questo motivo è naturale utilizzare la teoria della curva per scadenze

Recovery rate positivo Se assumiamo recovery rate positivo indipendenza tra rischio di tasso e di interesse possiamo scrivere (con  il recovery rate) Debito(t,T; )=v(t,T)[Prob( > T)+ Prob(  T)] Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Prob( >T)v(t,T) Debito(t,T; 0)= Prob( >T)v(t,T), da cui... Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) D(t,T; 0)

Implied survival probabilities Dall’equazione precedente Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Debito(t,T; 0) e da Debito(t,T; 0) = Prob( >T)P(t,T) otteniamo Prob( >T) = [Debito(t,T; )/v(t,T) – ]/(1 – ) … cioè la probabilità di sopravvivenza coerente con i prezzi osservati dei titoli defaultable, rispetto a quelli osservati per la stessa maturità sulla curva dei titoli privi di rischio di default.

Probabilità di default Lo spread di un titolo BBB a 10 anni rispetto alla curva risk-free è di 45 punti base. Nell’ipotesi di recovery rate pari a zero abbiamo Prob( >T) = exp (– .0045 10) = 0.955997 e la probabilità di default è 1 - 0.955997 = 4.4003% Nell’ipotesi di un recovery rate del 50% abbiamo Prob( >T) = [exp (– .0045 10) - ]/(1- ) = 0.911995 e la probabilità di default è 1 - 0.911995 = 8.8005%

Valore di un bond con cedole Assumiamo un bond che paga cedola c alle date {t1,t2,…,tm} e capitale 1 a tm. Denotimo  il tasso di recupero e  un periodo della ripartizione in n periodi del tempo tra t e tm. Il valore del titolo è

Correlazione tra tasso di recupero e default In generale il tasso di recupero è considerato indipendente dal default. In questo caso anche se il tasso di recupero è stocastico, si può sostituire il valore atteso nella formula. Un esempio tipico di distribuzione utilizzata è la distribuzione beta. In realtà tasso di recupero e default sono dipendenti. Altman,Resti e Sironi hanno trovato che il numero dei default e il tasso di recupero sono correlati negativamente nel ciclo economico.

Servizio strategico del debito Il sistema delle passività di un’azienda è accompagnato da un sistema di priorità (Absolute Priority Rule). In caso di default, prima vengono rimborsati i titoli senior non garantiti (senior unsecured), poi i titoli junior (debito subordinato), e infine le azioni (residual claim). In un moltissimi casi le crisi finanziarie non arrivano alla bancarotta formale, ma vengono definiti termini di ristrutturazione o liquidazione fuori dal regime fallimentare (soluzione stragiudiziale). L’esempio tipico è la capacità degli azionisti di sfruttare i costi di bancarotta per forzare la soluzione stragiudiziale (servizio strategico del debito).

Ristrutturazione di titoli sovrani Nel caso delle crisi di emittenti sovrani ovviamente la ristrutturazione è l’unica possibilità. Il default non conduce alla “liquidazione”, ma alla ristrutturazione del debito. Tipicamente la ristrutturazione prevede negoziazioni con la presenza di organizzazioni internazionali. (FMI, World Bank) Nel caso europeo queste organizzazioni sono quelle definite nel dibattito pubblico come Troika, composta da BCE+FMI+ESM).

La regola “pari passu” Anche nelle crisi del rischio sovrano dovrebbe essere rispettata la regola “pari passu”, che dice che in caso di default tutti i creditori di una determinata categoria di crediti devono recuperare la stessa percentuale. Problema 1: in campo internazionale, la regola pari passu si applica in maniera uguale a tutti i creditori? Problema 2: cosa succede se tutti i creditori non danno il loro consenso alla ristrutturazione del del debito?

Problema 1 E’ oggetto di dibattito se la regola “pari passu” si applica alle istituzioni internazionali. L’FMI, quando accorre a salvare un paese, richiede che il suo prestito abbia uno status di priorità in caso di default. Non è chiaro se lo stesso status si applichi alla BCE: Nella ristrutturazione del debito greco la BCE ha avuto il ruolo di creditore privilegiato. Nel cosiddetto OMT, il bazooka di Draghi, la BCE esclude esplicitamente lo status di creditore preferito. Lo stesso vale anche per il Quantitative Easing (QE).

Problema 2 Questo problema è stato alla radice del caso del debito argentino. Leggi differenti prevedono diversi livelli di «quorum» dei creditori per dare validità a un accordo di ristrutturazione. La legge UK richiede un quorum del 75% per gli accordi di ristrutturazione. Negli Stati Uniti, il «quorum» è invece del 100% (unanimità).

Il caso dell’Argentina L’Argentina ha fatto default nel 2001 e nel 2005 ha proposto lo scambio di debito con due nuovi titoli. L’offerta fu riaperta nel 2010. Nel 2010, circa il 93% degli investitori accettarono il concambio del debito. Rimasero fuori pochi investitori al dettaglio e due «hedge fund». Gli «hedge fund» avevano acquistato i titoli del debito argentino dopo il default per il 30% del suo valore e fecero ricorso presso al corte di New York per riavere il 100% del capitale prima che venissero pagati gli altri investitori.

Il paradosso dell’Argentina Il giudice di New York, Thomas Griesa, dette ragione ai fondi hedge e bloccò il pagamento degli interessi sui titoli del concambio fin quando l’Argentina non avesse ripagato in toto 1,5 miliardi di dollari. L’Argentina provò a pagare gli interessi direttamente a Buenos Aires, ma il giudice di New York minacciò ritorsioni sui beni negli USA a chiunque se ne avvalesse. Il paradosso del caso Argentina è che per difendere la regola «pari passu» la stessa regola è stata violata, perché prima di ripagare gli altri creditori, gli hedge fund sono stati ripagati al 100%.

Collective Act Clause Una «collective act clause» (CAC) è una regola, decisa all’emissione del titolo, secondo la quale viene deciso il «quorum» richiesto per approvare un accordo di ristrutturazione. Oggi, i titoli di stato emessi dal 2013 in poi sono dotati della clausola CAC, quelli precedenti non ne sono provvisti. Oggi i titoli provvisti di CAC sono la metà di quelli in circolazione. In caso di ritorno alla lira sembra che questi non potranno essere convertiti di imperio. Se non avranno il «quorum», resteranno denominati in Euro.