ANALISI DI REGRESSIONE L’analisi di regressione consente di determinare un modello in modo tale che “al meglio” interpreti i dati sperimentali mediante un legame algebrico ingresso-uscita. Analisi di regressione Fondamenti

Tipi di modelli Analisi di regressione Tipi di modelli

Scopo Determinare i parametri ci, i=1,...m, in base alle misure delle grandezze xi, i=1,...n, alle corrispondenti uscite yi ed alla scelta del tipo di modello, minimizzando un certo indice di prestazione. Analisi di regressione Scopo

Nel metodo dei minimi quadrati l’indice di prestazione è costituito dalla somma dei quadrati degli scarti: N=numero di misure Essendo: metodo dei minimi quadrati

y Retta ai minimi quadrati parametri (a,b) x N Dati sperimentali Il metodo dei minimi quadrati Esempio: retta ai minimi quadrati N Dati sperimentali x

Posizione del problema Il metodo dei minimi quadrati Segue (retta ai minimi quadrati) Posizione del problema

Soluzione Il metodo dei minimi quadrati Segue (retta ai minimi quadrati) soluzione

Legame lineare Linearizzazione mediante trasformazione Ponendo: Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare Legame lineare

ESEMPI DISTRIBUZIONE NORMALE

Esempio 1: valutazione della probabilità Considerata una distribuzione normale con  = 20 e  = 3, valutare la probabilità di avere valori di x compresi tra -  e 28 Passo 1: trasformazione x  z e sua valutazione Passo 2: Si “entra” nella tabella relativa all’integrale F(z) della “gaussiana” con le seguenti chiavi di lettura: 1) la parte intera e decimale di z si legge nella prima colonna 2) la parte relativa al centesimo si legge nella prima riga 3) all’incrocio tra riga e colonna determinate, si troverà il valore della probabilità P: P = 0.99623

Esempio 1: valutazione della probabilità Si valuti la probabilità di avere valori di x compresi tra -  e 16 z assume valore negativo, ma ricordando la proprietà: F(z)=1-F(-z) e ricavato dalla tabella che F(-z) = F(1.33) = 0.90815, allora la probabilità cumulata richiesta vale P = F(z) = 1-F(-z) = 1- 0.90815 = 0.09185 La che il valore di x sia cada all’interno dell’intervallo tra 16 e 28 è: P(16<x<28)=F2.67)-F(-1.33)= 0.99623 - 0.09185 = 0.90438

Esempio 2 Intervallo di fiducia e rischio di errore P: Probabilità I: intervallo di fiducia  f (z)  : rischio di errore P Probabilità da - a z1 /2=(1-P)/2 Probabilità da - a z2 -/2 /2 1-/2= 1-(1-P)/2 = (1+P)/2 Si osservi come la distribuzione della media delle medie tenda alla gaussiana anche se quella della popolazione non lo è. z1 z2 -2 +2 +5 I richiami

Esempio 2 Intervallo di fiducia e rischio di errore Si determinino z1 e z2 , Intervallo di fiducia, simmetrico rispetto al valore medio, a cui corrisponde un determinato valore di probabilità. Si assuma, come esempio, che P = 95%, sia la probabilità di una variabile xi di cadere all’interno dell’intervallo di fiducia da determinarsi. Il rischio di errore  sarà:  = 1-P = 5% tenuto conto della simmetria /2 assumerà lo stesso valore a destra e a sinistra, pertanto la probabilità da - a z1 /2 =(1-P)/2 = 2.5% per simmetria probabilità da - a z2 sarà: 1- /2 =1-(1-P)/2= (1+P)/2 = 97.5%

Esempio 2 Intervallo di fiducia e rischio di errore Con 1- /2 = 97.5% si entra nella tabella e si determina z2 corrispondente, 1.96, per simmetria si trova z1 = -1.96 L’intervallo di fiducia risulta:  + z1 < x <  + z2 (tenuto conto dei segni)  - z1 < x <  + z2 (tenuto conto dei valori assoluti) Probabilità zona centrale: Livello o intervallo di fiducia Probabilità zona esterne: rischio di errore In mancanza di informazioni, in campo metrologico si è soliti assumere P = 95%  = 1-P = 5% z = 1.962 2

Esempio 3 Intervallo di fiducia e rischio di errore Bullone con carico di rottura 5 kN ed incertezza  0.5 kN a livello di probabilità del 95% Si supponga che “n” bulloni siano applicati per il fissaggio di una carenatura di una moto. La probabilità che il bullone più sollecitato si rompa è pari a /2 = 2.5%, z2  2 s=0.5 kN, quindi s=0.25 kN : il manifestarsi di tale evento non è da considerarsi estremamente critico, poiché “n-1” bulloni rimarranno a garantire la connessione della carenatura Se invece un tale bullone viene usato per fissare lo specchietto retrovisore allora la sua rottura potrà causare seri danni per il motociclista, il passeggero o una qualsiasi persona lungo la strada. In tal caso si dovrà diminuire il rischio di errore ad un valore, che si supponga pari a  = 0.02%: si deve ricalcolare il campo di incertezza con un rischio inferiore a 0.01%, ossia 1-0.01% = 99.99%

Esempio 3 Intervallo di fiducia e rischio di errore Dalla tabella per F(z) = 0.9999, z = 3.76, per cui la semibanda dell’incertezza sarà: z  z s=3.76*0.25=0.94 kN, (s=0.25 kN) Il limite inferiore della banda sarà 5 - 0.94 kN  4.1 kN invece di 4.5 kN aumentando il levello di fiducia si abbassa il limite inferiore. Impiegando tale valore per la progettazione si ridurrà il rischio che il bullone si rompa.

ESEMPI DISTRIBUZIONE DI STUDENT

Esempio applicativo 4 Si consideri il bullone del caso precedente e si supponga di avere ottenuto la varianza del carico di rottura attraverso 15 prove (<30 si deve applicare Student): si determini l’incertezza del carico di rottura con livello di fiducia 95% e 99.98%. m= 5 kN, s = 0.25 kN, come nel caso precedente dalla distribuzione (tabella) di Student per  = 14 e P = 97.5 % si ottiene t2 = 2.14, limite superiore, a cui corrisponde t1 = -2.14 - considerando livello di fiducia = 99.98%, la probabilita cumulata P = 99.99%, dalla tabella t2= 4.14, t1 = -4.14 limite inferiore banda di incertezza 5-t*s=3.97  4 kN anziché 4.1 kN Come si vede il valore incognito x’ è proprio il valore medio.