Le equazioni goniometriche LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE

Definizione Si dice equazione goniometrica un’ equazione in cui l’incognita x compare come argomento di una funzione goniometrica. Analizziamo i vari casi:

Equazioni goniometriche elementari CASO SEN X= A Risolviamo l’equazione 𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 2 Una prima soluzione la possiamo trovare facendo l’arcoseno 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 2 →𝑥= 𝜋 6 .𝑃𝑜𝑖𝑐ℎè 𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 è 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑔𝑔𝑖𝑢𝑛𝑔𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑖𝑡à 2𝑘𝜋 :𝑥= 𝜋 6 +2𝑘𝜋 Ora, siccome il seno è positivo nel I e II quadrante tracciamo la parallela al II quadrante per ottenere la seconda soluzione. 𝑥= 5 6 𝜋+2𝑘𝜋

CASO COS X= B Risolviamo l’equazione : 2𝑐𝑜𝑠𝑥=√2 Svolgiamo i calcoli ed otteniamo 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 2 Una prima soluzione la troviamo facendo l’arcocoseno: 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 2 →𝑥= 𝜋 4 𝑎𝑔𝑔𝑖𝑢𝑛𝑔𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑖𝑡à → 𝑥= 𝜋 4 +2𝑘𝜋 Ora a differenza del seno, il coseno è positivo nel I e IV quadrante; quindi la parallela la tracciamo nel IV quadrante. La seconda soluzione sarà: 𝑥= 7 4 𝜋+2𝑘𝜋 Se avessimo avuto cosx= - 2 2 per risolverla avremmo dovuto riportare il segmento del coseno dove le ordinate sono negative (II e III q.) e poi tracciare la parallela per trovare le soluzioni

RICORDA: La tangente ha periodo 180° ovvero kπ CASO: TG X =C Risolviamo l’equazione : 3𝑡𝑔𝑥 − 3 =0 Svolgiamo i calcoli ed otteniamo: 𝑡𝑔𝑥= 3 3 Come al solito la prima soluzione la troviamo facendo la funzione inversa ovvero l’arcotangente: 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3 3 →𝑥= π 6 +𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑖𝑡à:𝑥= π 6 +𝑘π RICORDA: La tangente ha periodo 180° ovvero kπ Come il grafico ci conferma le soluzioni differiscono di 180°, quindi scriviamo prima l’angolo più piccolo e poi la periodicità ovvero kπ. Per esempio quando abbiamo sen x=0 le soluzioni sono 0+2kπ e π+2kπ ma avendo differenza di 180° scriviamo in forma sintetica 0 +kπ ovvero kπ

Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari Vediamo alcuni casi particolari di equazioni: 1) Risolviamo 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥−1=0 Poniamo 𝑠𝑒𝑛𝑥=𝑡 Ed otteniamo: 2 𝑡 2 +𝑡−1=0 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙 ′ 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑡= −1±√9 4 ⇒ 𝑡 1 = 1 2 𝑒 𝑡 2 =−1 Ora torniamo al seno di x e otteniamo 𝑠𝑒𝑛 𝑥= 1 2 𝑥= π 6 +2𝑘π 𝑒 𝑥= 5 6 π+2𝑘π 𝑠𝑒𝑛𝑥=−1 𝑥= 3 2 π+2𝑘π

2)Risolviamo 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥=0 Per risolvere questa equazione facciamo il raccoglimento totale Quindi: 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+1 =0 Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo: 𝑠𝑒𝑛𝑥=0 𝑥=𝑘𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥=−1 𝑥=𝜋+2𝑘𝜋 3) Risolviamo 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 =𝑐𝑜𝑠2𝜋 Svolgiamo i calcoli ed otteniamo : 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 =1 Ora poniamo 𝑥 2 =𝑡 Otteniamo: 2𝑠𝑒𝑛𝑡=1 ⇒𝑠𝑒𝑛𝑡= 1 2 ⇒𝑡= 𝜋 6 +2𝑘𝜋 𝑒 𝑡= 5 6 𝜋+2𝑘𝜋 Ora dalla t dobbiamo passare alla x: 𝑥 2 =𝑡 ⇒𝑥=2𝑡 Moltiplichiamo le soluzioni per due compresa la periodicità: 𝑥= 𝜋 3 +4𝑘𝜋 𝑒 𝑥= 5 3 𝜋+4𝑘𝜋

Equazioni goniometriche con le formule goniometriche Vediamo ora le equazioni contenenti le formule: 1)2 cos 𝑥+ π 4 = 2 1−𝑠𝑒𝑛𝑥 Svolgiamo la formula di addizione e i calcoli: 2 (𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠 π 4 −𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑠𝑒𝑛 π 4 )= 2 −√2𝑠𝑒𝑛𝑥 2 2 2 𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 −√2𝑠𝑒𝑛𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 𝑠𝑒𝑛𝑥+ 2 𝑠𝑒𝑛𝑥=√2 Otteniamo: 2 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 ⇒𝑐𝑜𝑠𝑥=1 𝑥=2𝑘π

2)Risolviamo 𝑠𝑒𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0 Svolgiamo la formula di duplicazione e otteniamo: 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥=0 Vediamo che in questa equazione possiamo fare il raccoglimento totale: 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥−1 =0 Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo: 𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑥= π 2 +𝑘π 2𝑠𝑒𝑛𝑥=1⇒𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 2 𝑥= π 6 +2𝑘π 𝑒 𝑥= 5 6 π+2𝑘π

Equazioni lineari in seno e coseno Risolviamo l’equazione : 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥=1 Come possiamo notare non possiamo applicare nessun metodo visto finora; per risolverle esprimiamo l’equazione in funzione della tangente di 𝑥 2 e per farlo ci serviamo delle formule parametriche (viste nella lezione precedente); sostituiamo il seno e coseno: 1− 𝑡 2 1+ 𝑡 2 − 2𝑡 1+ 𝑡 2 =1 dove t=tg 𝑥 2 Ora prima di proseguire; sappiamo che la tangente a 90°e 270° non esiste quindi 𝑥 2 ≠ π 2 +𝑘π 𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑥≠π+2𝑘π. Però π non è soluzione dell’equazione espressa in t ma può essere soluzione dell’equazione di partenza, quella espressa in seno e coseno, perciò a inizio esercizio verifichiamo se π è soluzione della traccia.

Fatto questo ragionamento torniamo alla traccia e verifichiamo se π è soluzione: 𝑐𝑜𝑠π−𝑠𝑒𝑛π=0⇒−1+0=1⇒−1≠1 Per questa equazione π non è soluzione. Ora svolgiamo l’equazione espressa in t e risolviamola: 1− 𝑡 2 1+ 𝑡 2 − 2𝑡 1+ 𝑡 2 =1 Facciamo il minimo comune multiplo: 1− 𝑡 2 −2𝑡=1⇒− 𝑡 2 −2𝑡=0⇒ 𝑡 2 +2𝑡=0 Facciamo il raccoglimento: 𝑡 𝑡+1 =0 Legge di annullamento del prodotto: 𝑡=0 ⇒𝑡𝑔 𝑥 2 =0 ⇒ 𝑥 2 =𝑘π ⇒𝑥=2𝑘π 𝑡=−1⇒𝑡𝑔 𝑥 2 =−1 ⇒ 𝑥 2 =− π 4 +𝑘π⇒𝑥=− π 2 +2𝑘π

Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno Si dice equazione omogenea di II grado un equazione che si presenta nella seguente forma normale o canonica: 𝑎 2 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑐 cos 2 𝑥=0 Analizziamo i vari casi: Se a=0 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐 cos 2 𝑥=0 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑜𝑔𝑙𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑥 =0 𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑒 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒 Se c=0 𝑎 𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥+𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑜𝑔𝑙𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 =0 𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥=0 𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑥=0 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒 Omogeneo vuol dire tutti i termini dello stesso grado

Se abbiamo tutti i coefficienti diversi da zero dobbiamo dividere tutti i membri per cos 2 𝑥 𝑎 𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥 cos 2 𝑥 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 cos 2 𝑥 + 𝑐 cos 2 𝑥 cos 2 𝑥 Anche qui bisogna porre la condizione di esistenza ovvero 𝑐𝑜𝑠𝑥≠0 𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑥≠ π 2 +2𝑘π . Come alle lineari a inizio esercizio facciamo la verifica, stavolta con π 2 . Dopo aver fatto la verifica si ottiene 𝑎 𝑡 𝑔 2 𝑥+𝑏 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐=0 Ma se abbiamo 𝒂 𝒕 𝒈 𝟐 𝒙+𝒃 𝒕𝒂𝒏𝒙+𝒄=𝟐 ? Basta considerare il 2 moltiplicato per 1, ma in goniometria cosa è uguale a 1? La prima relazione fondamentale; quindi: 𝑎 𝑡 𝑔 2 𝑥+𝑏 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐=2(𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥+ cos 2 𝑥) Dopo aver fatto i calcoli si ottiene la forma normale.

Facciamo un esempio: Risolviamo : 2 𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥− cos 2 𝑥 +3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=2 Facciamo la verifica per π 2 : 2=2 ⇒ π 2 +2𝑘π è 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 Consideriamo il 2 moltiplicato per 1 e sostituiamolo con la prima relazione fondamentale: 2 𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥− cos 2 𝑥 +3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=2(𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥+ cos 2 𝑥) Applichiamo la proprietà distributiva e riordiniamo l’equazione: 2𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥+3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥− cos 2 𝑥 −2𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥−2 cos 2 𝑥=0 Otteniamo: 3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥− 3 cos 2 𝑥=0 Dividiamo per cos 2 𝑥 ed otteniamo: 3𝑡𝑔𝑥−3=0 𝑡𝑔𝑥=1 ⇒𝑥= π 4 +𝑘π

La lezione è finita ci vediamo alla prossima!!! EMANUELE PAONE E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime informazioni e gli altri miei lavori. Ciao!!