Capitolo 8 Energia potenziale e conservazione dell’energia Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all’insegnante. È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete internet. È vietata ogni forma di proiezione pubblica. 1

Capitolo 8 Energia potenziale e conservazione dell’energia Ognuno di noi ha visto un atleta durante il salto in alto sollevarsi da terra, fermarsi a mezz’aria per un istante e poi ridiscendere, acquistando velocità nella caduta. Dov’è finita la sua energia cinetica quando l’atleta è nel punto più alto della sua traiettoria? E in che forma riappare durante la discesa? Cercando di rispondere a queste domande, scopriremo che esistono altre forme di energia oltre a quelle già considerate nel capitolo precedente. 2

Capitolo 8 - Contenuti Forze conservative e non conservative. Energia potenziale e lavoro di forze conservative. Conservazione dell’energia meccanica. Lavoro di forze non conservative. Curve dell’energia potenziale e curve equipotenziali.

1. Forze conservative e non conservative Il lavoro compiuto da una forza conservativa viene immagazzinato in una forma di energia che può essere liberata in un momento successivo. Esempio di forza conservativa: la gravità. Esempio di forza non conservativa: l’attrito. Inoltre: il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo un percorso chiuso è nullo; ciò non è vero per una forza non conservativa.

1. Forze conservative e non conservative Il lavoro compiuto dalla gravità lungo un percorso chiuso è uguale a zero: FIGURA 3 Il lavoro compiuto dalla gravità lungo un percorso chiuso è uguale a zero La gravità non compie lavoro lungo i due tratti orizzontali del percorso; nei due tratti verticali il lavoro è uguale come intensità, ma di segno opposto. Perciò, il lavoro totale compiuto dalla gravità lungo un percorso chiuso è uguale a zero.

1. Forze conservative e non conservative Il lavoro compiuto da una forza di attrito lungo un percorso chiuso non è uguale a zero: FIGURA 4 Il lavoro compiuto da una forza di attrito lungo un percorso chiuso non è uguale a zero

1. Forze conservative e non conservative Il lavoro compiuto da una forza conservativa è uguale a zero lungo qualsiasi percorso chiuso: FIGURA 6 Il lavoro compiuto da una forza conservativa è indipendente dal percorso Considerando i percorsi 1 e 2 vediamo che L1 + L2 = 0, cioè L2=-L1; analogamente, considerando i percorsi 1 e 3, vediamo che L1 + L3 = 0, cioè L3=-L1. Segue che L3 = L2, essendo entrambi uguali a -L1; pertanto il lavoro compiuto per uno spostamento da A a B è indipendente dal percorso.

2. Lavoro di forze conservative Per sollevare una palla da terra e metterla su uno scaffale bisogna compiere un lavoro. Possiamo recuperare quell’energia facendo cadere la palla dallo scaffale; nel frattempo diciamo che l’energia è immagazzinata sotto forma di energia potenziale. Definizione di energia potenziale , U Lc = Ui – Uf = –(Uf – Ui) = – ΔU [1] Nel SI si misura in Joule (J)

2. Lavoro di forze conservative Energia potenziale gravitazionale: – ΔU = Ui – Uf = Lc = mgy FIGURA 7 Energia potenziale gravitazionale Una persona si lascia cadere da un trampolino in una piscina. Il trampolino è a un’altezza y e la superficie dell’acqua è a y = 0. Se scegliamo di porre uguale a zero l’energia potenziale gravitazionale alla quota y = 0, l’energia potenziale della persona sul trampolino è mgy.

2. Lavoro di forze conservative Molle: [4] Figura esempio svolto 3.

3. Conservazione dell’energia meccanica Definizione di energia meccanica E: [6] Partendo da questa definizione e limitandoci a considerare forze conservative otteniamo: Ovvero, in maniera equivalente: E = costante

3. Conservazione dell’energia meccanica La conservazione dell’energia meccanica semplifica notevolmente la risoluzione dei problemi di cinematica: FIGURA 8 Risolvere un problema di cinematica utilizzando la conservazione dell’energia a) Un mazzo di chiavi cade a terra. Ignorando le forze di attrito, sappiamo che l’energia meccanica nel punto i e quella nel punto f devono essere uguali, cioè Ei = Ef. Utilizzando questa condizione possiamo determinare il modulo della velocità delle chiavi un istante prima che tocchino terra. b) La situazione fisica è uguale a quella precedente, ma in questo caso poniamo y = 0 nel punto dal quale cadono le chiavi. Come prima, la condizione Ei = Ef permette di calcolare il modulo della velocità delle chiavi un istante prima che tocchino terra. Il risultato ottenuto è lo stesso.

4. Lavoro di forze non conservative In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale non si conserva: Ltot = Lc + Lnc = – ΔU + Lnc = ΔK Risolvendo in funzione di Lnc abbiamo Lnc = ΔU + ΔK = ΔE [9]

Lavoro di forze non conservative In questo esempio, la forza non conservativa è la resistenza dell’acqua. Figura esempio guidato 10

5. Curve dell’energia potenziale e curve equipotenziali Il profilo di una collina o di un ottovolante è già di per sè una rappresentazione dell’energia potenziale gravitazionale: FIGURA 10 Palla che rotola su una pista priva di attrito La palla parte da A, dove y = h, con velocità uguale a zero. La sua velocità è massima nel punto B; in D, dove è ancora y = h, la sua velocità ritorna a zero.

5. Curve dell’energia potenziale e curve equipotenziali Il profilo di una collina o di un ottovolante è già di per sè una rappresentazione dell’energia potenziale gravitazionale: FIGURA 11 Grafico dell’energia potenziale gravitazionale in funzione della posizione per la pista di figura 10 L’andamento della curva dell’energia potenziale è esattamente lo stesso di quello della pista. In questo caso, l’energia meccanica totale è fissata al suo valore iniziale, E0 = U + K = mgh. Poiché l’altezza della curva in ogni punto è per definizione uguale a U, l’energia cinetica K è la distanza fra la curva e la linea tratteggiata in corrispondenza di E0 = mgh. Osserviamo che K ha il valore massimo in B e si annulla in A e D, cioè nei punti di inversione del moto.

5. Curva dell’energia potenziale e curve equipotenziali L’andamento dell’energia potenziale per una molla: FIGURA 12 Massa attaccata a una molla

5. Curva dell’energia potenziale e curve equipotenziali Anche una mappa delle curve di livello è una rappresentazione dell’andamento dell’energia potenziale: FIGURA 13 Curve di livello Questa collina (a sinistra la vista frontale) è molto ripida nel versante sinistro, mentre scende dolcemente sul versante destro. Una mappa delle curve di livello della collina (a destra) mostra una serie di linee che collegano punti alla medesima quota, da 50 m a 450 m. Osserviamo che le curve di livello sono più addensate nella zona più ripida e meno addensate dove il pendio è più dolce.

Riepilogo del capitolo 8 Le forze conservative conservano l’energia meccanica. Le forze non conservative convertono l’energia meccanica in altre forme di energia. Il lavoro compiuto da una forza conservativa su un percorso chiuso qualsiasi è uguale a zero. Il lavoro compiuto da una forza conservativa è indipendente dal percorso seguito. Esempi di forze conservative: la gravità, la forza elastica di una molla.

Riepilogo del capitolo 8 Il lavoro compiuto da una forza non conservativa su un percorso chiuso non è uguale a zero e dipende dal percorso seguito. Esempi di forze non conservative: attrito, resistenza dell’aria, tensione. L’energia immagazzinata sotto forma di energia potenziale può essere convertita in energia cinetica o di altro tipo. Il lavoro compiuto da una forza conservativa è l’opposto della variazione di energia potenziale energy Gravità: Molla:

Riepilogo del capitolo 8 L’energia meccanica è la somma delle energie cinetica e potenziale, e si conserva solo nei sistemi al cui interno agiscono esclusivamente forze conservative. Le forze non conservative possono variare l’energia meccanica di un sistema. Il lavoro compiuto da una forza non conservativa è uguale alla variazione dell’energia meccanica di un sistema. La curva dell’energia potenziale è il grafico di U in funzione della posizione.