Riassunto lezione precedente proprietà di simmetria delle rappresentazioni, classificazione dei multipletti dello spettro barionico ed identificazione degli stati; esempio di due e tre particelle descritte da doppietto di SU(2) o da tripletto di SU(3); stati simmetrici, antisimmetrici, e a simmetria mista i tableaux di Young: metodo automatico per calcolare le dimensioni e le proprietà del prodotto di numero qualsiasi di rappresentazioni di dim. N e delle loro coniugate N* distinzione e classificazione di stati in base a proprietà di simmetria rispetto ad operazioni di G parità (e/o C coniugazione di carica) su rappresentazioni di SU(3)f accoppiate a doppietti di spin SU(2); classificazione univoca dei complessivi 36 stati dei nonetti mesonici pseudoscalare e vettoriale 5-Nov-12

SU(6) e spettro dei barioni SU(6) = SU(3) SU(2) |χ1> |χ2> |χ3> |φ1> |φ2> |φ3> simmetria stati S |χ>S |φ>S = (10,4)  Δ 1/√2 (χMSφMS+χMAφMA) = (8,2)  N MS MA χSφMS = (10,2) χSφMA = (10,2) χMSφS = (8,4) χMAφS = (8,4) 1/√2 (-χMSφMS+χMAφMA) = (8,2) 1/√2 (χMSφMA+χMAφMS) = (8,2) χAφMA = (1,2)  Λ(1405) χAφMS = (1,2) A χAφS = (1,4) 1/√2 (χMSφMA-χMAφMS) = (8,2) perché 56 ha energia più bassa e P=+ e gli altri stati si alternano con P=-,+,-,..? Combinare 3 rapp. SU(3) con 3 rappr. SU(2)  3 rappr. SU(6) = 56S+70MS+70MA+20A. Ricostruibile da tableaux di Young oppure da combinazione di tabella di simmetrie Simbolo. Commento a tabella: 56S più basso in energia ha JP=½+ ed è ottetto del N; poi c’è decupletto JP=3/2+ della Δ. Non c’è singoletto a P=+  non c’è nonetto come nei mesoni. Il primo singoletto è Λ(1405) di (1,2) MS con ½-. 5-Nov-12

⊗ SU(6) moto orbitale dei quark: SU(6) ⊗ O(3) quark con nr. quantici: sapore u, d, s SU(3)f spin S= ↑, ↓ SU(2) moto orbitale L O(3)  adrone con nr. quantici L⊕S=J ⊗ SU(6) ⊗ SU(6) ⊗ O(3) u d s Quark con 3 flavor e 2 stati di spin appartengono a rappr. di SU(3)xSU(2) = SU(6). Se inseriti in potenziale, hanno anche moto orbitale con n.quantico L e simmetria O(3). Accoppiando SU(6)xO(3), e quindi L a spin totale S, si deve trovare momento angolare totale dell’adrone J. Si impone regola generale per cui si considerano solo rappr. simmetriche di SU(6)xO(3). Il motivo è che manca ancora un n.quantico (colore) che dà asimmetria complessiva della funz. d’onda di un barione. regola generale : solo rappresentazioni simmetriche di SU(6) ⊗ O(3) [SU(6) ⊗ O(3)]S 5-Nov-12

SU(6) ⊗ O(3) : barioni stato fondamentale esempio più semplice: potenziale di oscillatore armonico, stati (nl) |0>O(3) = (1s)(1s)(1s) ≡ |O(3)>S con LP = 0+ [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)>S ≡ 56S PO(3) = + ⇒ PSU(6) = + cioè (10, JP = 3/2+) e (8, JP = ½+) 1° stato eccitato |1>O(3) = (1s)(1s)(1p) ≡ |O(3)*>M con LP = 1- Caso più semplice è ipotizzare i 3 quark in potenziale di oscillatore armonico; gli stati sono identificati da n.quantici (nl). Stato fondamentale ha i 3 quark in (1s)(1s)(1s). Lo stato ha LP=0+, quindi lo stato fondamentale ( |0> ) nella simmetria di O(3) è S. Quindi se [SU(6)xO(3)]S ⇒ SU(6)S, cioè stato fondamentale per SU(6) è 56S, come evidenziato nello spettro. Inoltre in O(3) P=+, quindi anche in SU(6) deve essere P=+. E infatti il 56S ha ottetto ½ con P=+ e decupletto 3/2 con P=+. Si ritrova quindi evidenza sperimentale di livello più basso 56S con P=+. Primo stato eccitato: (1s)(1s)(1p) con LP=1-. Si può pensare che sua wf sia del tipo ri |0> con i=1,2,3 e Rcm=r1+r2+r3=0. Si possono formare stati a simmetria mista: |1>MA = (R1-R2) |0>S e |1>MS = (r1+r2-2r3) |0>S , e simmetrico |1>S = (r1+r2+r3) |0>S = 0. |1>S = 0 è generale => solo stati misti per O(3), quindi solo stati misti per SU(6) => 70M. Simbolo. Da lez.3-slide10 si deduce 70M = 10S x 2M + 8M x 2M + 8M x 4S + 1A x 2M , dove L=1 si compone con S=1/2 (2M) o S=3/2 (4S) a dare J=1/2-, 3/2-, 5/2- osservati in vari stati. N.B. 1A x 2M è singoletto a P=- degli stati Λ(1405) e Λ(1520). Poi in 10S x 2M si hanno stati a I=3/2 (in decupletto 4 stati di carica come Δ), etc… Gli stati non di singoletto sono senza strange. Si trovano anche stati con strange di tipo Λ come S01(1670) e S03(1690), e di tipo Σ come D15(1765), D13(1670,1580), S11(1620,1750). [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)*>M ≡ 70M : (10,2) S31(1650), D33(1670) (8,2) S11(1535), D13(1520) (8,4) S11(1700), D13(1700), D15(1670) (1,2) S01(1405; Λ), D03(1520; Λ) … altri stati con stranezza …. X2I,2J 5-Nov-12

SU(6) ⊗ O(3) : barioni altri stati eccitati |2>O(3) ? (1s)(1s)(1d) degenere con (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p)(1p) risulta |O(3)**>S = √⅔ (1s)(1s)(2s) + √⅓ (1s)(1p)(1p) con LP = 0+ [SU(6) ⊗ O(3)]S ⇒ |SU(6)**>S ≡ 56S altri stati possibili: 56S con LP = 2+ 5/2+(1690), 3/2+(1810) con S=½ ½+(1910), 3/2+(?), 5/2+(1890), 7/2+(1950) con S=3/2 70M con LP = 0+, 1+, 2+ …. Stati eccitati oltre il primo: c’è degenerazione tra (1s)(1s)(1d) e (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p()1p). Inoltre bisogna sottrarre moto spurio del cm, dipendente da R=⅓(r1+r2+r3). Allora si definiscono (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p)(1p) con variabili ipersferiche R,ρ,λ, e combinazione tale per cui |O(3)**>S è non spurio, con LP=0+ e S per O(3). Simbolo. Stato ⊥ |O(3)**>S è stato con moto interno in gs e cm in (2s). Se |O(3)**>S e [SU(6)xO(3)]S ⇒ |SU(6)**>S ≡ 56S. Altri stati possibili con 56S a LP=2+ e 70M con 0+,1+,2+ ⇒ tutti con P=+. Ma come si concilia con slide precedente con 70M e P=-? Ipotesi diquark-quark con variabili ipersferiche: |0> è 56S con LP=0+; n eccitazioni in λ sono P=+ se n even, P=- se n odd. Quindi |1> è 70M con LP=1-, |2> è 56S con LP=2+, etc.. Evidenze di 70M con LP=3- intorno a 2GeV. Candidati per eccitazioni radiali sono P11(1470) e P33(1690), come P11(1780) e P33(2080). ma i primi stati eccitati (~ |1>O(3) ) sono 70M con P=- o P=+ ? ipotesi “diquark+quark” ⇒ alternanza di P=+ / - / + / … radial excitations (1s)(1s)(2s) degenerate with (1s)(1s)(1d) : P11, P33, … 5-Nov-12

SU(6) ⊗ O(3) : mesoni − sistema {q q} ha parità P = (-)L+1 L sistema “ “ in stato |χ>S |φ>A ha C = (-)L+S |χ>A |φ>S quindi CP = - S=0 CP = + S=1 S=0 ⇒ J ≡ L ⇒ C = (-)J = - P ⇒ JPC = 0-+, 1+-, 2-+ , … S=1 ⇒ J = L+1 ⇒ C = P ⇒ JPC = 1--, (0++, 1++, 2++), (1--, 2--, 3--), … nonetto pseudoscalare e vettore JPC I = 1 I = 0 I = ½ 0-+ π(140) … η(550) … η’(960) … K(495) 1-- ρ(770) … ω(780) … ϕ(1020) … K*(890) … 1+- b1(1235) h1(1170) K1(1270) 0++ a0(980) … σ(600) f0(980) … K*0(1430) 1++ a1(1260) f1(1285) f1(1420) K1(1400) 2++ a2(1320) f2(1270) … f’2(1525) K*2(1430) 2-+ π2(1670) … η2(1645) K2(1770) … … Mesone = quarkonio, quindi quark e antiquark hanno parità opposta. Se stanno in stato con L relativo, allora P=(-)L+1. Da lez.3-slide10 sappiamo che funz.d’onda di SU(6) è del tipo |χ>S |φ>A o |χ>A |φ>S. Se L=0, la prima corrisponde a π (S=0) con C=1 e la seconda corrisponde a ρ (S=1) con C=-1. Ergo C=(-)L+S. Allora da P=(-)L+1 e C=(-)L+S ⇒ CP = (-)S+1 cioè CP=- per S=0 (pseudoscalari) e =+ per S=1 (vettori). Per S=0 (pseudoscalari) J=L e C=(-)J = - P perché P=(-)J+1. Allora la spettroscopia JPC ha sempre CP=-, cioè segni opposti per P e C al crescere di L=0,1,2..: 0-+, 1+-, 2-+, … Esistono stati che hanno CP=- ma segni invertiti: questi sono stati esotici perché non deducibili da queste simmetrie (ex. π1(1400) ha 1-+ con I=1). Per S=1 (vettori) J=L+1 e C=(-)L+1 = P. Allora la spettroscopia JPC ha sempre CP=+, cioè segni uguali per P e C al crescere di L=0,1,2,..: 1--, (0++,1++,2++), (1--,2--,3--), … I primi delle due serie, 0-+ e 1--, sono i nonetti conosciuti. In tabella ci sono gli stati osservati (il simbolo … significa altre risonanze a masse più alte). 5-Nov-12

Applicazioni: carica e momento magnetico del nucleone il nucleone sta in 56S = 10S ⊗ 4S ⊕ 8Ms ⊗ 2MS ed appartiene a 8Ms ⊗ 2Ms quindi la sua funzione d’onda SU(6) è del tipo 1/√2 ( |χ>Ms |φ>Ms + |χ>Ma |φ>Ma ) (vedi slide 2) con |χ>Ms/a da slide 5 – lez.3 |φ>Ms/a da slide 3 – lez.3 carica N sta in 56S. Appartiene a (8,2), cioè la funz.d’onda è globalmente S ma è prodotto di funz.d’onda M. Da slide 2 è |χ>MS |φ>MS + |χ>MA |φ>MA. Le |χ>MS/A sono da lez3-slide5, le |φ>MS/A da lez3-slide3. Per svolgere calcolo carica usare simmetria delle funz.d’onda e ortonormalità delle |φ>. Simbolo. Analogamente per momento magnetico si deve splittare el. matrice di carica su stati SU(3)f e di matrici di Pauli su stati SU(2). Questi ultimi selezionano gli el. matrice da calcolare. Simbolo. Risultato sorprendente: precisione del 2.6% con calcolo banale… 5-Nov-12