Capitolo 10 Moti rotazionali Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all’insegnante. È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete internet. È vietata ogni forma di proiezione pubblica. 1

Capitolo 10 Moti rotazionali Puoi immaginare una vita senza oggetti in rotazione? Veicoli senza ruote, macchinari senza ingranaggi, luna park senza giostre? Le persone su questa giostra certamente sanno che il moto di rotazione è molto diverso dal moto su una lunga rotaia diritta. In questo capitolo vedremo che il moto di oggetti che ruotano, come quello dei carrelli che eseguono un “loop” su una montagna russa, può essere analizzato utilizzando molti dei metodi che abbiamo applicato al moto lineare. 2

Capitolo 10- Contenuti 1. Posizione, velocità e accelerazioni angolari. 2. Cinematica rotazionale. 3. Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali. 4. Sistemi di riferimento rotanti. 5. Moto di rotolamento. 6. Energia cinetica di rotazione e momento d’inerzia. 7. Conservazione dell’energia.

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Definizione di posizione angolare, θ Θ = angolo misurato rispetto alla linea di riferimento Nel SI si misura in radianti (rad), un’unità adimensionale FIGURA 1 Posizione angolare La posizione angolare θ di un puntino di vernice su una ruota di bicicletta. In questo caso la linea di riferimento, per la quale θ = 0, è la semiretta orizzontale, ma può essere scelta in qualsiasi direzione.

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Lunghezza dell’arco, s, misurata in radianti: FIGURA 2 Lunghezza di un arco Se la posizione angolare θè misurata in radianti la lunghezza l di un arco di circonferenza, dalla linea di riferimento al puntino segnato con la vernice rossa, è data da l = rθ.

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Definizione di velocità angolare media, ωm [3] Nel SI si misura in radianti al secondo (rad/s) = s-1 FIGURA 3 Spostamento angolare Mentre la ruota gira, il puntino di vernice rossa compie uno spostamento Δθ = θf−θi.

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Definizione di velocità angolare istantanea, ω [4] Nel SI si misura in radianti al secondo (rad/s) = s-1 FIGURA 4 Velocità angolare e modulo della velocità angolare Una rotazione antioraria corrisponde per definizione a una velocità angolare ω positiva. Analogamente, una rotazione oraria corrisponde a una velocità angolare ω negativa. L’intensità della velocità angolare è chiamata modulo della velocità angolare.

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Definizione di periodo, T [5] Nel SI si misura in secondi (s) Definizione di accelerazione angolare media, αm [6] Nel SI si misura in radianti al secondo (rad/s2) = s-2

1. Posizione, velocità e accelerazione angolari Definizione di accelerazione angolare istantanea, α Nel SI si misura in radianti al secondo (rad/s2) = s-2 FIGURA 5 Accelerazione angolare e modulo dell’accelerazione angolare Quando la velocità angolare e l’accelerazione angolare hanno lo stesso segno, come in (a) e in (b), il modulo della velocità angolare aumenta. Quando la velocità angolare e l’accelerazione angolare hanno segno opposto, come in (c) e in (d), il modulo della velocità angolare diminuisce.

2. Cinematica rotazionale Se l’accelerazione angolare è costante: FIGURA 6 Carrucola con accelerazione angolare costante Una massa è attaccata a una fune arrotolata attorno a una carrucola. Mentre la massa cade, il modulo della velocità angolare della carrucola aumenta e la carrucola accelera con accelerazione angolare costante.

2. Cinematica rotazionale Analogie tra la cinematica lineare e quella rotazionale: Tabelle 1 e 2

3. Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali nel moto circolare uniforme Velocità tangenziale di un oggetto in rotazione [12] Nel SI si misura in metri al secondo (m/s) FIGURA 7 Velocità lineare e angolare Vista dall’alto di un bambino su una giostra. La traiettoria del bambino è una circonferenza con il centro sull’asse di rotazione della giostra. In ogni istante il bambino si muove in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria circolare, con velocità di modulo vt = rω.

3. Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali nel moto circolare uniforme Accelerazione centripeta di un oggetto in rotazione [13] Nel SI si misura in metri al secondo quadrato (m/s2) Figura

3. Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali in un moto CIRCOLARE QUALUNQUE Velocità tangenziale Velocità radiale Accelerazione tangenziale di un oggetto in rotazione Nel SI si misura in metri al secondo quadrato (m/s2) Accelerazione tangenziale e centripeta causata dalla variazione del modulo della velocità causata dalla variazione della direzione della velocità

3. Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali in un moto CIRCOLARE QUALUNQUE Il bambino sulla giostra è sottoposto a due accelerazioni: una tangenziale e una centripeta. FIGURA 8 Accelerazione centripeta e tangenziale Se il modulo della velocità angolare della giostra aumenta, il bambino sarà sottoposto a due accelerazioni: un’accelerazione tangenziale at e un’accelerazione centripeta acp. L’accelerazione totale del bambino è il vettore a, somma di at e acp.

4. Sistemi di riferimento rotanti In un sistema di riferimento in moto rotatorio (sistema non inerziale) compaiono due forze apparenti: la forza centrifuga la forza di Coriolis

4. Sistemi di riferimento rotanti Forza centrifuga: forza apparente che in un sistema di riferimento rotante bilancia la forza centripeta.  = velocita’ ANGOLARE del sistema di riferimento non inerziale RISPETTO al sistema inerziale; w Fcf = -m  x (  x r ) r FIGURA 9 Forza centrifuga Un osservatore su una piattaforma in rotazione avverte una forza che lo spinge verso l’esterno e per rimanere fermo deve sfruttare l’attrito con il pavimento. Poichè la forza peso e la reazione normale del pavimento si annullano a vicenda, l’unica forza reale sull’osservatore è la forza di attrito statico fs, che agisce come forza centripeta. Dobbiamo allora supporre che nel sistema di riferimento della piattaforma compaia un’altra forza, la forza centrifuga Fcf, che ha la stessa intensità e la stessa direzione della forza centripeta, ma verso opposto.

4. Sistemi di riferimento rotanti Forza di Coriolis: forza apparente perpendicolare alla velocità del corpo e all’asse di rotazione. FCoriolis = -2m  x v v = velocita’ del corpo nel sistema non inerziale;  = velocita’ ANGOLARE del sistema di riferimento non inerziale RISPETTO al sistema inerziale; FIGURA 11 Effetti della forza di Coriolis Se la piattaforma ruota in senso antiorario la forza di Coriolis spinge la palla verso destra (a), se la piattaforma ruota in senso orario, la spinge verso sinistra (b). Rotazione antioraria: Deviazione verso destra Rotazione oraria: Deviazione verso sinistra

5. Moto di rotolamento Nel caso di un oggetto che rotola senza slittare esiste una relazione precisa tra le velocità di rotazione e di traslazione: FIGURA 13 Moto di rotolamento Una ruota di raggio r rotola senza slittare. Durante un giro completo della ruota, il centro della ruota si muove di moto rettilineo e si sposta di 2πr.

5. Moto di rotolamento Possiamo anche considerare il moto di un oggetto che rotola come la combinazione di un moto di pura rotazione e un moto di pura traslazione: FIGURA 14 Moto di rotazione e di traslazione di una ruota a) In un moto di pura rotazione le velocità del punto più in alto e di quello più in basso della ruota hanno la stessa direzione e lo stesso modulo, ma verso opposto. b) In un moto di pura traslazione ogni punto della ruota si muove con la stessa velocità in modulo, direzione e verso. FIGURA 15 Velocità nel moto di rotolamento In una ruota che rotola senza slittare il punto a contatto con il terreno è istantaneamente fermo. Il centro della ruota si muove in avanti con una velocità di modulo v = rω, mentre il punto più in alto della ruota si muove in avanti con velocità doppia, v = 2rω.

6. Energia cinetica di rotazione e momento d’inerzia Per questa massa, FIGURA 16 Energia cinetica di un oggetto che ruota

6. Energia cinetica di rotazione e momento d’inerzia L’energia cinetica può anche essere espressa come [18] dove I, il momento d’inerzia, è dato da [19] ATTENZIONE – ACHTUNG – WARNING I, il momento d’inerzia, VIENE DEFINITO RELATIVAMENTE (E DIPENDE DA) AD UN ASSE DI ROTAZIONE !!!

6. Energia cinetica di rotazione e momento d’inerzia I momenti di inerzia di vari oggetti di forma regolare possono essere calcolati:

7. Conservazione dell’energia L’energia cinetica totale di un oggetto che si sposta e ruota intorno al suo centro di massa è la somma della sua energia cinetica di traslazione e di rotazione: con il momento d’inerzia I calcolato RISPETTO AL CENTRO DI MASSA !!

7. Conservazione dell’energia L’energia cinetica totale di un oggetto che rotola è la somma della sua energia cinetica di traslazione e di rotazione: [20] [21] L’energia cinetica di un oggetto che rotola è un multiplo dell’energia cinetica di traslazione.

7. Conservazione dell’energia Se si rilasciano simultaneamente i due oggetti di massa e raggio uguali il disco arriverà al fondo per primo – la parte della sua energia potenziale gravitazionale convertita in energia cinetica di traslazione è maggiore. Figura da verifica i concetti.

Riepilogo del capitolo 10 Per descrivere il moto di rotazione servono grandezze analoghe alla posizione, alla velocità e all’accelerazione del moto lineare θ (in radianti) = lunghezza d’arco/raggio = s/r Velocità angolare media e istantanea: Accelerazione angolare media e istantanea:

Riepilogo del capitolo 10 Periodo: Per convenzione, le rotazioni antiorarie sono positive, quelle orarie sono negative. Tabella 1

Riepilogo del capitolo 10 Equazioni del moto lineari e angolari: Velocità tangenziale: Accelerazione centripeta: Accelerazione tangenziale: Tabella 2

Riepilogo del capitolo 10 Sistemi di riferimento rotanti: forza centrifuga e forza di Coriolis. Moto di rotolamento: Energia cinetica di rotazione: Momento di inerzia: Energia cinetica di un oggetto che rotola senza slittare: Nei problemi che hanno a che fare con la conservazione dell’energia bisogna tenere conto dell’energia cinetica di traslazione e di rotazione.