Momento di inerzia, momento di una forza, momento angolare Momenti Momento di inerzia, momento di una forza, momento angolare

Concetto di Momento I momenti in fisica sono cose molto diverse fra loro. Certamente non hanno sempre la stessa unità di misura; ed avremo cura di definirli volta per volta Esistono momenti di inerzia, momenti di forze, momento della quantità di moto (anche detti momenti angolari), momenti torcenti, momento elettrici e momenti magnetici, etc.etc. Comunque, si introduce il concetto di momento quando una certa grandezza fisica già definita nei moti lineari viene ridefinita nei moti rotatori. Non possiamo essere più precisi nella definizione di «momento» perché di per se il significato non è univoco. In questa parte del corso noi ci interesseremo solo del Momento di una forza, Momento di inerzia, Momento della quantità di moto (o momento angolare)

Momento di una Forza

Momento di una forza A 1 Supponiamo di avere una porta vista dall’alto e supponiamo che sia incardinata su un lato, diciamo in A. Se applicassimo la stessa forza F in punti diversi, come nei punti 1, 2, 3, 4, 5 e 6; osserveremmo che il moto della porta sarebbe diverso a secondo della direzione della forza e del suo punto di applicazione. In qualche caso non si muoverebbe affatto, in altri si muoverebbe in senso orario e in qualche caso in senso antiorario In conclusione l’effetto di una forza che agisca (su un oggetto basculante o comunque incernierato) in un punto lontano dall’asse di rotazione dipende fortemente dal suo punto di applicazione e dalla direzione della forza 2 3 4 5 6

Prodotto vettoriale Per comprendere come agisce una azione applicata ad un punto qualsiasi (diverso dal centro di massa) di un corpo rigido è necessario introdurre una nuova operazione che si può fare con i vettori. L’algoritmo che descrivere l’effetto di un’azione applicata in un punto arbitrario di un corpo rigido è il prodotto vettoriale che si indica con t = r x F (- t = F x r ) il modulo di tale prodotto vale, |t| = |r||F|senq, dove q è l’angolo individuato dai vettori r ed F, quando sono traslati nello stesso punto d’origine la direzione di t è perpendicolare al piano individuato dai vettori r ed F il verso segue la regola della mano destra t r F

I momenti nelle leve Se la direzione delle forze (potenza P o resistenza R) e il vettore r , distanza dall’asse di rotazione sono perpendicolari, come nel caso delle leve, il calcolo dei momenti rispetto al fulcro è semplice; infatti in questi casi q = 90° e senq = 1. Il momento della forza t è semplicemente il prodotto del braccio per il modulo della forza t = r · F o t = F · r P R F r r P b1 F b2 R Per l’equilibrio di una leva t = 0 e quindi deve valere la relazione: P · b1 = R · b2 ovvero b1/b2 = R/P Se ne conclude che per b1 > b2 allora R > P oppure se b2 > b1 allora P > R P b1 F R b2

Le Leve nel corpo umano Le leve si dividono in tre categorie Leve di primo genere, indifferenti (articolazione della testa) Leve di secondo genere, sempre vantaggiose (sollevamento del calcagno) Leve di terzo genere, sempre svantaggiose (sollevamento dell’avambraccio)

Momento di Inerzia

Energia cinetica rotazionale Abbiamo visto che Ek = ½ m v2 è l’energia cinetica riferita al moto di un punto materiale m che si muove con velocità v. Nel caso di un corpo in rotazione dovremo fare la somma delle Ek di tutti i punti del corpo in rotazione: Ek = Si ½ mi vi2 Se volessimo utilizzare la velocità angolare w = v/ri, avremo per ciascun punto. Quindi: Ek = Si ½ mi w2ri2 ovvero Ek = ½ w2 Si mi r2i In questo modo la forma dell’energia cinetica in un moto rotatorio diviene omomorfa all’energia cinetica dei moti rettilinei e la grandezza Si mi ri2 = I , si chiama momento di inerzia ed è l’equivalente rotazionale della massa inerziale nei moti lineari.

Momento di Inerzia Come la massa si oppone alla variazione della velocità, così il Momento di inerzia si oppone alla variazione della velocità angolare, ma l’efficacia della sua opposizione dipende da come la massa è distribuita attorno all’asse di rotazione Se l’oggetto di cui vogliamo conoscere il momento di inerzia I è un sistema discreto di n punti basterà applicare per ogni punto la definizione di I = mr2 e poi sommare i vari contributi per ottenere in momento di inerzia totale. Se invece l’oggetto è una grandezza continua allora sarà più semplice calcolare:

Casi particolari: cilindro cavo

Momento di inerzia di una sfera Si voglia calcolare il Momento di Inerzia di una sfera di massa M e raggio R Se poniamo l’origine degli assi al centro della sfera, avremo che il dischetto di spessore dz a distanza z dal centro avrà una massa pari a dm = r p r2 dz dove r2 = R2 - z2 ed R è il raggio del dischetto. r dz z R

Momenti di Inerzia Si riportano alcuni corpi rigidi modello di cui sono noti i momenti di inerzia

Teorema degli assi paralleli I Momenti di Inerzia dei corpi modello sono molto utili, ma sono tutti calcolati per un asse di rotazione passante per il centro di massa. Se invece volessimo calcolare il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo all’asse di rotazione passante per il baricentro allora dovremmo fare il seguente calcolo: questi integrali valgono zero

Momento Angolare

Momento angolare Come l’energia meccanica e la quantità di moto, il momento della quantità di moto (o momento angolare) è una grandezza fisica che si conserva. Il momento angolare è una grandezza vettoriale definita dal prodotto vettoriale fra la distanza r da un punto fisso e dal vettore quantità di moto p. L = r x p = m (r x v) Come calcolare il modulo, la direzione ed il verso è già stato detto nel calcolo del momento di una forza t

Momento della quantità di moto Supponiamo di avere un punto di massa m che si muove con velocità v, quindi la sua quantità di moto è p = mv. Il momento di questa quantità di moto rispetto ad un asse di rotazione passante per un punto qualunque q sarà L = r x p = r i x m v j = mvr k e in coordinate rotazionali sarà : L = m (v/r) r2 = m w r2 Se invece di un solo punto ne dovessimo considerare un numero molto grande allora: q L = I w p = mv I

Conservazione di L ttot= dL/dt L= l1+l2+… ln Conosciamo la 2a legge della dinamica nella forma Fext = dp/dt e quindi possiamo dedurre che text = dl/dt La descrizione fin qui fatta ha riguardato il moto di un punto materiale attorno ad un punto fisso, ma anche per un corpo esteso si arriva alle stesse conclusioni. ttot= dL/dt L= l1+l2+… ln Se una derivata vale zero vuol dire che la sua funzione primitiva è costante. Se il momento delle forze applicato ad un corpo è nullo t = 0, allora il momento angolare L di quel corpo si conserva