Matrici e determinanti Prof. Angela Fanti Liceo Scientifico Statale “Francesco d’Assisi”

Definizione di matrice E’ detta matrice una tabella di numeri disposti in righe e in colonne in modo tale che ogni numero occupa il posto intersezione di una riga con una colonna Se una matrice ha m righe ed n colonne è detta matrice m x n

Le matrici del tipo m x 1 oppure 1 x n sono dette vettori aij è l’elemento della matrice che occupa il      punto di intersezione della i-esima riga con la      jesima colonna Se m ≠ n la matrice è detta                                           rettangolare del tipo m x n Se m = n la matrice è detta                                           quadrata di ordine m Le matrici del tipo m x 1 oppure 1 x n sono dette vettori Due matrici sono uguali se hanno uguali gli elementi che occupano lo stesso posto

In una matrice quadrata, si chiamano elementi principali quelli del tipo aii, aventi cioè l’indice di riga uguale a quello di colonna. Gli elementi principali costituiscono quella che si chiama la diagonale principale della matrice diagonale secondaria

Una matrice è detta matrice nulla se tutti i suoi elementi sono 0 Si chiama matrice unità I (di ordine n) la matrice quadrata avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti gli altri elementi nulli A I = I A = A

Si chiama trasposta della matrice A, e si indica con il simbolo A Si chiama trasposta della matrice A, e si indica con il simbolo A*, la matrice ottenuta da A scambiando le righe con le colonne: l’elemento di posto (i,j) in A* coincide quindi con l’elemento di posto (j,i) in A A* = A = Una matrice quadrata si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta

Una matrice quadrata è triangolare superiore (inf Una matrice quadrata è triangolare superiore (inf.) se sono nulli tutti gli elementi al di sotto (sopra) della diagonale principale Superiore Inferiore = 0 se i ≠j aij ≠ 0 se i = j

Determinanti Data la matrice quadrata Ad essa resta associato un ben definito numero reale (se tale è la matrice) detto determinante della matrice e denotato con det(A)

Definiamo determinante di A il numero che si ottiene mediante un procedimento ricorsivo di calcolo detto dello sviluppo secondo gli elementi di una linea (riga o colonna) Premettiamo che dato aij  A si chiama suo complemento algebrico il determinante della matrice che si ottiene da A cancellandone la riga i-esima e la colonna j-esima di aij , moltiplicato per (-1)i+j

ESEMPIO Sia data la matrice: Il complemento algebrico del suo elemento -3 (situato nella seconda riga e nella prima colonna) è Quello dell’elemento -3 (seconda riga, seconda colonna) è invece:

Il determinante di A è il numero reale somma dei prodotti degli elementi di una linea di A, arbitrariamente scelta, per i rispettivi complementi algebrici Si vede facilmente, che conviene sviluppare il determinante secondo la linea che contiene più zeri

Proprietà dei determinanti A) il determinante di una matrice triangolare sup. o inf. (in particolare diagonale) è uguale al prodotto dei suoi elementi principali B) se una matrice (quadrata) ha una linea di zeri, il suo determinante è nullo C) moltiplicando per un fattore tutti gli elementi di una qualunque linea di una matrice, il determinante di questa resta moltiplicato per lo stesso fattore ovvero è possibile mettere in evidenza un fattore comune a tutti gli elementi di una linea di una matrice, portando tale fattore fuori del segno di determinante

Proprietà dei determinanti D) scambiando tra loro due righe o due colonne di una matrice quadrata, il determinante cambia di segno E) se una matrice quadrata ha due righe o due colonne uguali, il suo determinante è zero F) se una matrice quadrata ha due righe o due colonne proporzionali, il suo determinante è zero G) il determinante di una matrice quadrata non cambia se ad una qualunque riga o colonna si aggiunge un’arbitraria combinazione lineare delle altre righe o colonne H)una matrice quadrata ha determinante nullo se e solo se le sue righe o colonne sono dipendenti (una almeno è combinazione lineare delle altre) Le matrici il cui determinante è nullo vengono dette singolari o degeneri

Rango di una matrice Definiamo rango di una matrice il numero massimo delle sue righe indipendenti Si chiama minore di A di ordine p il determinante di qualunque matrice che si può costruire a partire da A fissandone a piacere, p righe ed altrettante colonne e prendendo poi gli elementi che restano così individuati L’espressione ”la matrice ha rango r” vuol dire che sono verificati contemporaneamente i due fatti seguenti: I) la matrice A possiede un minore di ordine r diverso da zero II) tutti i minori di A di ordine maggiore di r sono nulli

Operazioni tra matrici 1) Prodotto di una matrice per un numero reale: Si effettua moltiplicando per il numero reale tutti gli elementi della matrice  A = ( aij) N.B. det( A) = n det(A)

Operazioni tra matrici 2) Somma tra matrici: È eseguibile solo tra matrici delle stesse dimensioni, e si effettua elemento per elemento Se A = (aij) e B = (bij) si ha A + B = ( aij + bij) L’operazione è commutativa associativa N.B. in generale det(A  B) ≠ det(A)  det(B)

Operazioni tra matrici 3) Prodotto righe per colonne: - Affinché si possa moltiplicare “righe per colonne” una matrice Am x s per Br x n deve risultare s=r ossia il numero s di colonne della prima matrice deve essere uguale a quello r delle righe della seconda. Se questa condizione è verificata, l’operazione può essere effettuata e dà per risultato una matrice Cm x n - E’ evidente l’importanza dell’ordine con cui si considerano le matrici da moltiplicare

Operazioni tra matrici prodotto r x c Indicando con aij , bij, cij l’elemento generico di A, B, C Cm x n = Am x s Bs x n l’operazione risulterà definita dalla regola

ESEMPIO Siano le matrici: Il prodotto AB è eseguibile (mentre non lo è BA) e dà per risultato una matrice 2 x 3.

Calcoliamone gli elementi: La matrice C = A B è

Operazioni tra matrici prodotto r x c Se le matrici da moltiplicare sono quadrate di ordine n, entrambi i prodotti AB e BA possono effettuarsi e danno per risultati ancora matrici quadrate dello stesso ordine. Tuttavia, in generale, è: AB ≠ BA Si ha però, per qualunque scelta di A e B det(AB) = det(A) det(B) E dunque , come conseguenza det(AB) = det(BA)

Matrice inversa A A-1 = A-1 A = I matrice identità La matrice quadrata Am x m si dice singolare se il suo determinante è nullo. Esiste la matrice inversa della matrice quadrata Am x m se e solo se A non è singolare. In tale caso, la matrice inversa A-1 di A è unica L’inversa A-1m x m della matrice Am x m è la matrice quadrata tale che: A A-1 = A-1 A = I matrice identità

Determinazione della matrice inversa A-1 ESEMPIO: Data la matrice 1) Si calcola la trasposta A* 2) Si sostituiscono i complementi algebrici con il loro segno 3) Si divide ciascun complemento algebrico per detA