Integrale Definito Integrale Indefinito Integrale Definito Operazione inversa della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. calcolo delle aree sottese al grafico di f(x) calcolo della lunghezza di una curva calcolo dei volumi calcolo del lavoro di una forza calcolo dello spazio percorso calcolo del potenziale calcolo del flusso di un vettore Integrale Definito

L’ area del cerchio L’area del cerchio è uguale al limite comune (quando il numero dei lati  ) al quale tendono le successioni formate dalle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio … Ovvero l’area A è l’elemento unico di separazione tra le due classi di aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio :

Integrale Definito Area del Trapezoide Vogliamo calcolare l’area A sottesa al grafico della funzione f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b] di R x y B a A b

Indichiamo con sn =  areaRettinscritti Possiamo determinare l’area individuandola tra le due classi delle aree dei rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti come abbiamo fatto per il cerchio… Dividiamo in n parti l’intervallo [a, b], avendo n rettangoli con la base h: h = (b – a)/n x y B b a A Indichiamo con sn =  areaRettinscritti L’area sn del plurirettangolo inscritto

Sn =  areaRettcircoscritti Analogamente possiamo determinare l’area Sn del plurirettangolo circoscritto: x y B b a A Sn =  areaRettcircoscritti L’area A richiesta sarà sempre compresa tra sn e Sn  areaRettinscritti  A   areaRettcircoscritti

Aumentando il numero dei rettangoli l’area A sarà compresa in un intervallo ancora più stretto e l’approssimazione sarà più precisa... Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due classi di aree, quelle dei plurirettangoli inscritti {s1, s2, … sn, …} e quella dei plurirettangoli circoscritti {S1, S2, …Sn,…} corrispondenti ad un numero di parti 1, 2, … n … (ovviamente il numero di parti è potenzialmente infinito).

Area rettcirco. = Mih Arettinscr. = mih Integrale Definito Data la funzione y=f(x) definita e limitata in [a, b], dopo aver diviso l’intervallo [a, b] in n parti, indichiamo con mi = inf f(x) e con Mi = Sup f(x) nell’intervallo i-esimo di ampiezza h = ( b-a ) / n Area rettcirco. = Mih Arettinscr. = mih B x y C A b a D mi Mi i L’area del plurirettangolo sn inscritto e di quello Sn circoscritto saranno: sn =AreaPluriRettinscr. =  mih Sn =AreaPluriRettcirco. =  Mih h

A questo punto al variare di n abbiamo due classi di aree: -quella delle aree degli infiniti plurirettangoli inscritti: {s1, s2, … sn … } -degli infiniti plurirettangoli circoscritti {S1, S2, …Sn… } con n   Def. Se queste due classi: {s1, s2, … sn … } e {S1, S2, …Sn… } (evidentemente separate) sono CONTIGUE allora ammettono un elemento unico di separazione (che esprime la misura dell’area A sottesa al grafico di f(x) tra a e b); detto elemento unico di separazione viene detto integrale definito di f(x) nell’intervallo [a, b] e viene indicato con:

Teorema (condizione di integrabilità): Se f(x) è continua in [a, b] le successioni delle aree {s1, s2, … sn, … } ed {S1, S2, … Sn,… } convergono allo stesso limite A che è l’integrale definito: Indicando con f(i ) il valore della funzione in un punto qualsiasi dell’intervallo i-esimo,tenendo conto del teorema del confronto : B x y C A b a D mi Mi i f(i ) Passando al limite e tenendo conto della continuità di f(x) avremo che:

Allora, possiamo giungere alla seguente affermazione: Data la funzione f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b] di R , l’Integrale Definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] è il limite a cui tende la successione dei plurettangoli incritti e quelli circoscritti ovvero: e si indica con

Proprietà dell’Integrale definito Proprietà di linearità Proprietà di additività

Teorema della Media Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c(a, b) tale che: x y B A b a f(c) Cioè esiste sempre un rettangolo R di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area di quella sottesa al grafico di f(x) tra a e b. R

Introduzione al Teor. di Torricelli- Barrow (teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f(x) continua nell’intervallo [a, b] di R, consideriamo un punto x variabile (a, b) al variare di x l’integrale è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale (che rappresenta l’area sottesa al grafico tra a ed x): b x y C B A a D f(x)

Teor. di Torricelli- Barrow Di conseguenza: Se x = a se x = b Teor. di Torricelli- Barrow Se f(x) è continua in [a, b] di R allora la funzione integrale è derivabile e risulta: DF(x) = f(x); cioè F(x) è una primitiva di f(x) e l’integrale definito tra a e b di f(x) è dato da : F(b)- F(a).

Dim Consideriamo l’intervallo [x, x+h]: avremo y C D A B x a x x + h b L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:

ma: per il teorema della media: Passando al rapporto incrementale si ha: passando al limite per h  0, che rappresenta la derivata di F(x): f(c) può essere indicata con f(x) perché c è comunque nell’intervallo a,b. Inoltre, la derivata DF(x) = f(x) ovvero la funzione integrale F(x) è una primitiva della funzione integranda f(x):

Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito Essendo F(x) la funzione integrale : Quindi c =  F(a) pertanto: per x = b

Teorema fondamentale del calcolo integrale L’integrale definito di una funzione continua f(x) nell’intervallo [a, b] è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo [a, b] :