Trasformata di Fourier Operazione matematica per convertire una funzione di una certa variabile (es. t) in una funzione di un’altra variabile (es. w) qualora le variabili siano legate dall’esponenziale complesso eiwt, e dunque il prodotto wt rappresenti una fase. Specificamente, vale per le variabili tempo e pulsazione (t, w), e spazio e vettore d’onda (r, k). f(t)  F(w) f(r)  F(k) Ogni funzione (in particolare non periodica) può sempre essere vista come sovrapposizione (serie, o integrale di Fourier) di un idealmente infinito numero di seni e coseni di frequenza e ampiezza diverse. La TdF «F» è spesso definita «spettro» della funzione di partenza «f», essendo una correlazione tra ampiezza e frequenza I(w), per ogni frequenza che appare nello sviluppo in serie di Fourier. 𝑓 𝑡 = 𝑎 0 2 + 𝑛=1 +∞ 𝑎 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑛 𝑡 + 𝑛=1 +∞ 𝑏 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑛 𝑡 w1 a1 b1 w2 a2 b2 w3 a3 b3 … wn an bn

𝑓 𝑡 = 𝑛=−∞ 𝑛=+∞ 𝑐 𝑛 (𝜔)𝑒 𝑖 𝜔 𝑛 𝑡 da cui la forma integrale: Poiché sin e cos sono combinazioni diverse dell’esponenziale complesso eiwt, oppure eikr, la precedente serie si può scrivere in modo più compatto così: 𝐹 𝜔 = −∞ ∞ 𝑓(𝑡 )𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑛=−∞ 𝑛=+∞ 𝑐 𝑛 (𝜔)𝑒 𝑖 𝜔 𝑛 𝑡 da cui la forma integrale: (utile per i calcoli) 𝑓(𝑡)= 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹(𝑡 )𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 Esempio: diffrazione da apertura rettangolare Qui di seguito «j» corrisponde all’unità immaginaria «i»

TdF di una Gaussiana (es. incertezza di una misura) Più precisa è la misura in x (Dx0) più imprecisa è la misura in k (Dk∞), e k=2pmv/h

Immagine con ondulazione lungo x, a bassa «frequenza» Notare a SX 2 puntini bianchi –kx e +kx attorno al centro (0,0), rimpiazzati (a DX) da 2 puntini neri (dunque eliminati)

Analisi delle superfici, riconoscimento della dimensione dei (nano)grani

DwDt=2p Nell’istante in cui si ode un brevissimo schiocco si nota una larga banda in frequenza

Esercitazioni in laboratorio Realizzazione su foglio elettronico (es. Excel) di spettro F(w) e antitrasformata f(t) Studio della sovrapposizione di più segnali sinusoidali con l’app online: http://falstad.com/fourier/ Studio dello spettro di Fourier di segnali sonori/vocali (file audio) tramite app online http://falstad.com/dfilter/ In particolare, correlazione tra larghezza di picco temporale (impulso sonoro) e larghezza dello spettro associato (banda di frequenza). Studio della distorsione dei segnali sonori tramite filtri passa alto/passa basso. Studio della trasformata di Fourier nel campo della diffrazione ottica e del trattamento delle immagini (image editing) con il programma freeware scaricabile dal sito http://jcrystal.com/products/ftlse/index.htm In particolare, diffrazione da fenditura sottile 1D, fenditura rettangolare di dimensioni differenti, fenditura circolare. Analisi di Fourier di immagini di «superfici» con granuli di dimensioni diverse. Cenno alle origini classiche del principio di indeterminazione quantistico per grandezze ondulatorie: dove p è la quantità di moto. Un’alta precisione nella posizione (incertezza Dx piccola) comporta uno spettro in k (quindi un insieme di onde nella serie di Fourier, detto anche «pacchetto d’onda») molto largo (Dk grande) C’è una proporzionalità inversa: DxDk = costante, e poiché k è una «misura» di p, e cioè anche della velocità v, la conoscenza precisa della posizione (Dx piccola) è inevitabilmente legata a una grande imprecisione nella velocità (Dv grande): DxDv = costante (se l’incertezza è su dati gaussiani, questa costante vale 1/2). E’ impossibile conoscere posizione e velocità con la stessa precisione (indeterminazione). Legge di Planck: 𝐸=ℎ𝜈=ℎ 1 𝑇 = ℎ𝑐 𝜆 = =𝑝𝑐 usando De Broglie = ℎ𝑐 2𝜋 𝜆 2𝜋 = ℎ 2𝜋 𝑐 2𝜋 𝜆 =ℏ𝑐𝑘 implica 𝑝=ℏ𝑘