Le Frazioni Prof.ssa A.Comis

Un po’ di storia Definizione Tipi di frazione Confronto Operazioni Frazioni decimali Numeri razionali assoluti

Se dividiamo un segmento in 3 parti uguali, come possiamo rappresentare ognuna di queste parti se il segmento iniziale è rappresentato dal numero 1? Come facciamo a sapere il costo di una maglietta se il negoziante pratica lo sconto del 30%? Se tagli una torta in 8 fette uguali e ne mangi 3 fette, come indichi la quantità che hai mangiato rispetto a tutta la torta? Domande di questo tipo inducono ad ampliare l’insieme dei numeri naturali studiati fino ad ora. Fu proprio l’impossibilità di eseguire in ogni caso la divisione fra due numeri naturali che, fin dai tempi più remoti, portò l’uomo a capire che non poteva risolvere certi problemi pratici con il solo utilizzo dei numeri naturali.

Si presentò quindi la necessità di introdurre un nuovo insieme numerico che potesse permettere di risolvere certi problemi e nacque, così, l’insieme dei numeri razionali assoluti. Gli elementi di base di questo nuovo insieme numerico, che indicheremo con la lettera Q, sono le frazioni. Il termine Frazione deriva dal latino “frangere” che significa rompere, spezzare.

Definizione Dicesi Frazione ogni coppia ordinata di numeri naturali, il secondo dei quali sia diverso da zero. Possiamo anche dare un’altra definizione: Dicesi Frazione il rapporto fra due numeri naturali con il secondo diverso da zero.

Tipi di frazione Se a < b la frazione si dice PROPRIA Se a > b la frazione si dice IMPROPRIA Se a è multiplo di b la frazione si dice APPARENTE Se a e b sono primi fra loro la frazione di dice IRRIDUCIBILE Se a e b non sono primi fra loro, cioè se hanno fattori comuni la frazione si dice RIDUCIBILE

Esempi

Confronto

Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente a quella data. L’applicazione di questa importante proprietà ci permette di semplificare o ridurre una frazione. Infatti per rendere irriducibile una frazione basta dividere entrambi i suoi termini per i fattori comuni in modo che risultino primi fra loro.

Esempi

Per ridurre più frazioni allo stesso denominatore basta seguire le seguenti regole: Il denominatore comune a tutte sarà il m.c.m. dei denominatori; Si divide il denominatore comune così ottenuto per ogni denominatore e si moltiplica il quoziente trovato per il corrispondente numeratore;

Operazioni

Frazioni Decimali Una frazione che ha per denominatore una potenza di 10 si dice Decimale. Ogni frazione decimale si può trasformare in un numero decimale che dopo la virgola ha tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore della frazione. Viceversa, ogni numero decimale finito può essere trasformato in una frazione decimale che ha per numeratore tutte le cifre che compongono il numero e per denominatore una potenza di 10 che ha tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.

Esempi

Numeri razionali assoluti Abbiamo visto che per la proprietà invariantiva, se moltiplichiamo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero otteniamo una frazione equivalente a quella data. Ma allora a partire da una sola frazione possiamo ottenerne infinite tutte equivalenti fra loro e che determinano un insieme. Chiamiamo numero razionale assoluto proprio ogni insieme di frazioni tra loro equivalenti. Si preferisce assumere come rappresentante dell’insieme la frazione in forma ridotta.

Esempi