Circuiti in corrente alternata Carica e scarica di condensatori e di induttanze Circuiti oscillanti Equazioni di Maxwell

Circuiti in corrente alternata I dispositivi circuitali che abbiamo incontrato fino ad ora sono le resistenze, i condensatori e le induttanze. Questi dispositivi hanno comportamenti diversi se utilizzati in circuiti a corrente continua C.C. o a corrente alternata A.C. In regime di corrente continua i condensatori non permettono la circolazione di corrente perché sono circuiti aperti. Le induttanze e le resistenze offrono resistenza elettrica che dipendono dal materiale di cui sono fatti, della lunghezza e della sezione del filo, rispondendo alla legge R = r l/S In corrente alternata i tre dispositivi offrono impedenze diverse che dipendono non solo dai materiali di cui sono costituiti, ma anche dalla variabilità della corrente o della tensione a cui sono sottoposti: Se disponiamo di una tensione alternata tipo vab = V cos wt la corrente che circola in un circuito, puramente resistivo, sarà iab = I cos wt questo perché la resistenza elettrica è una caratteristica che non dipende dalla pulsazione w.

Carica di un condesatore Con l’interruttore S in a il condensatore C si carica fino al valore della f.e.m. E e la carica accumulata ai suoi capi è q = EC. Come variano, nel tempo, la corrente i, la carica q e la tensione Vc ai capi di C ? Per la legge delle maglie E - iR – q/C = 0 q = C E [1 – e -t/(RC)] (fase di carica) La corrente di carica è dq/dt = E/R [e - t/(RC)] Da q = CV si può ricavare VC = E [1 – e -t/(RC)] Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo, ed è chiamata costante di tempo t, ed è il tempo necessario a caricare il condensatore fino al 63%

Scarica del condensatore In questo caso l’equazione della maglia sarà come quella della carica senza termine noto ovvero: R C V=E q = q0 e-t/RC CV0 I0 = q0/RC q0 37% t t 2t 2t t = RC dopo un tempo t il condensatore si è scaricato al 37%

Circuiti RL (1) Nei circuiti capacitivi l’applicazione di una d.d.p. ai capi di un condensatore implica un tempo di caricamento espresso dal’equazione q = C (fem)(1- e –t/RC) (carica di C) q = q0 e –t/RC (scarica di C) In un circuito puramente induttivo, l’induttanza tende a contrastare la variazione della corrente sia in aumento che in diminuzione. Questo rallentamento della risposta si dice ritardo di fase ed è dovuto alla corrente di Lenz che si oppone all’aumento di corrente. Nella fase di carica il circuito equivalente è un circuito serie formato da una f.e.m., una resistenza in serie R e un induttanza L, quindi: La cui soluzione è una funzione crescente di tipo esponenziale, simile a quella ottenuta per la carica del condensatore.

Circuiti RL (2) La soluzione dell’equazione del circuito induttivo ha un andamento esponenziale analogo a quello del circuito capacitivo. La differenza è che nei circuiti induttivi cresce il potenziale V mentre nei circuiti capacitivi cresce la carica q. La scarica dell’induttanza ha un andamento esponenziale decrescente e si realizza inserendo il dispositivo in serie ad una resistenza. carica di L scarica di L

Energia di un induttanza Applicando la legge delle maglie possiamo scrivere f.e.m. = iR + Ldi/dt che moltiplicata per i ci dice quale è la potenza P = VI fornita dalla batteria che alimenta il circuito. i(f.e.m.) = i2R + Li di/dt Tale potenza si distribuisce in potenza dissipata sulla resistenza (effetto Joule) i 2R e potenza accumulata dall’induttanza Li di/dt R f.e.m. L Ricordiamo che abbiamo già trovato quale è il valore della energia accumulata da un condensatore EC = ½ q2/C

Energia nei circuiti LC Abbiamo visto come l’energia si immagazzina nei condensatori o nelle induttanze studiando i circuiti RC ed RL. L’andamento temporale della carica e della scarica dei circuiti puramente capacitivi C o puramente induttivi L sono esponenziali che dipendono da RC e RL In un circuito ideale LC, senza R avremo un andamento oscillante della corrente e della d.d.p. con un periodo T e una pulsazione w variano in modo armonico.  

Oscillazioni LC Una massa collegata ad una molla ha un moto oscillatorio come la corrente in un circuito LC. E = Kb + Um = ½ mv2 + ½ kx2 E = EL + EC = ½ Li2 + ½ Q2/C La derivata prima della carica nel tempo ci fornisce la corrente dq/dt = - I sin(wt+f) dove I = wQ ovvero l’ampiezza massima della corrente Mentre la pulsazione w si ricava dalla derivata seconda di q d2q/dt2 = - w2Qcos(wt+f) che sostituita nella formula inquadrata ci da -Lw2 Qcos(wt+f)+1/C Qcos(wt+f) = 0 Lw2 = 1/C w2 = 1/LC In conclusione: disponendo di un circuito induttivo-capacitivo con un condensatore precaricato oscillerà con frequenza w data da w = 1/√LC

Oscillazioni smorzate Se nel circuito LC ci sono dispersioni di tipo resistivo l’energia, nel tempo non si conserva, ma tende a diminuire. Per esempio si dissipa per effetto Joule, allora saremo in presenza di oscillazioni smorzate: E = EL + EC = 0 ovvero La cui soluzione è: q = Q e –Rt/2L cos(w’ t + f) con w’ =√w2 – [R/(2L)]2 . ovviamente w’ è minore di w, ma per R piccola tale che w’ ≈ w e sostituendo il valore di q nella EC = q2/2C avremo:

Oscillazioni forzate Un circuito RLC è un circuito in cui è possibile avere oscillazioni periodiche della carica, della tensione o della corrente. La frequenza o meglio la pulsazione angolare è data da w = 1/√LC e questa è la pulsazione propria del circuito. Esiste però anche la possibilità di imporre una frequenza estera al circuito, in questo caso come risponderà il circuito RLC e come risponderanno i singoli componenti alle frequenze oscillanti? Risponderemo studiando le risposte di tre semplici circuiti. Uno resistivo, uno capacitivo ed uno induttivo.  

Equazioni di Maxwell Teorema di Gauss per l’elettricità   Teorema di Gauss per il magnetismo     Legge dell’induzione di Faraday   Teorema di Ampere generalizzato Dopo un po’ di manipolazioni algebriche che omettiamo perché non necessari agli obiettivi di questo corso ricaviamo l’andamento ondulatorio dei campi elettrici e dei capi magnetici      

Corrente alternata Ci si chiede spesso: perché usare la corrente alternata? Sappiamo che la velocità di deriva degli elettroni è 4 x 10-5 m/s e se gli si inverte la direzione ogni centesimo di secondo ogni elettrone si sposterà al più 40 mm, quindi gli elettroni non si spostano che per una piccolissima lunghezza non più di un centinaio di atomi. La verità è che la corrente alternata permette l’uso della legge di Faraday. Facendo ruotare una spira in un campo magnetico la f.e.m. sarà f.e.m. = (f.e.m.)maxsin (wgt) con wg pulsazione. Questa pulsazione è quella generata dalla rotazione della spira e fornisce una corrente: i = I sin (wgt – f) volendo si potrà usare la frequenza meccanica 2png = wg