Le Equazioni di 1°grado Prof.ssa A.Comis

Sommario Introduzione Definizione Classificazione Principi di equivalenza Regole per la risoluzione Equazioni fratte

Abbiamo già visto che quando è necessario esprimere un calcolo in forma sintetica e generale, è conveniente usare una scrittura che utilizzi le lettere al posto dei numeri. Esaminiamo insieme questo gioco: Pensa un numero Raddoppialo Aggiungi 10 Dividi il risultato per 2 Sottrai 5 Ti rimane il numero iniziale Non è magia, basta solo saper calcolare in modo opportuno con le lettere.

Definizione Dicesi equazione una uguaglianza fra due espressioni algebriche verificata solo per alcuni valori assegnati alla variabile. Il grado di una equazione è il maggiore dei gradi con cui, in essa, compare la variabile. Nella forma più generale scriveremo: ax=b

Osservazioni Data l’equazione ax=b diremo che: L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, mentre quella a destra si chiama secondo membro La lettera x si chiama variabile o incognita Le lettere a e b rappresentano numeri reali; a si chiama coefficiente della variabile, b si chiama termine noto I valori (se esistono) della x che rendono vera l’uguaglianza si chiamano radici o soluzioni della equazione

Altre osservazioni Una equazione ha al massimo tante soluzioni quante sono le unità del suo grado.Quindi se è di 1°grado avrà al più 1 soluzione, se è di 2°grado ne avrà al più due e così via. Se l’equazione ammette un numero finito di soluzioni si dice determinata. Se non ammette soluzioni si dice impossibile. Se ammette infinite soluzioni si dice indeterminata o identità.

Classificazione Un’equazione si dice: Intera se tutti i suoi termini sono interi rispetto la variabile. Fratta se almeno uno dei suoi termini contiene la variabile al denominatore di una frazione. Numerica se oltre la variabile contiene SOLO numeri. Letterale se oltre la variabile contiene ANCHE lettere.

Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse radici. Questo significa che se due equazioni sono equivalenti, tutte le soluzioni della prima sono soluzione anche della seconda e viceversa. Due equazioni equivalenti ad una terza sono equivalenti tra loro.

Principi di equivalenza Per risolvere le equazioni vengono applicati due principi di equivalenza: Principio di ADDIZIONE: aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione algebrica si ottiene una equazione equivalente a quella data. Principio di MOLTIPLICAZIONE: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero diverso da zero TUTTI i termini di un equazione, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Conseguenze Dal primo principio derivano alcune notevoli conseguenze: Se si trasportano alcuni termini di una equazione da un membro all’altro, essi si DEVONO cambiare di segno. Se nei due membri di una equazione compare uno stesso termine, esso può essere soppresso in entrambi i membri. Esempi: x+3=5 x=-3+5 x=2 x+3x=2+3x x=2

Altre conseguenze Dal secondo principio derivano altre importanti conseguenze: Si può cambiare il segno a TUTTI i termini di una equazione ed ottenerne un’altra equivalente.(Basta moltiplicare tutti i termini per –1). Se tutti i termini di una equazione sono multipli di uno stesso numero, si possono dividere TUTTI per questo divisore comune ottenendo una equazione più semplice. Esempi: -x=6 x=-6 4x-12=4 x-3=1 x=3+1 x=4

Regole per la risoluzione Si effettuano, se sono presenti, i prodotti indicati; Si libera l’equazione degli eventuali denominatori; Si riuniscono al primo membro TUTTI i termini con la variabile e al secondo membro TUTTI i termini noti; Si riducono i termini simili in entrambi i membri; Ridotta l’equazione in forma normale, la sua soluzione sarà il rapporto tra il suo termine noto ed il coefficiente della variabile.

Esempi

Altri esempi

Equazioni fratte Per risolvere una equazione fratta conviene seguire questo schema: Si scompongono TUTTI i denominatori. Si cercano (se esistono) i valori che rendono nulli i denominatori. Si esegue il m.c.m. per rendere intera l’equazione. Si riduce l’equazione in forma normale e si risolve.

Esempio

Altro esempio