Le funzioni Definizione Immagine e controimmagine Dominio e codominio Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Funzione pari e dispari Funzione crescente, decrescente e monotòne Funzioni periodiche Funzione esponenziale Funzione logaritmo Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. A B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Esempi di funzione Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi: A=Paolo; Bruno; Carlo; Mario, A e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A: B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Paolo . Carlo . Bruno . Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione  definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia: Mario . Paolo  Franca (Paolo ha per madre Franca) Bruno  Maria (Bruno ha per madre Maria) Carlo  Anna (Carlo ha per madre Anna) Mario  Franca (Mario ha per madre Franca) B Anna . Pina . Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un’applicazione o funzione da A verso B. Maria . Luisa . Franca . Valentina . Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Relazioni che non sono funzioni Perché queste relazioni non sono funzioni? A B 1 L’esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B. L’esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B. A 2 B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Codominio Dominio Dominio e Codominio Il codominio si indica con f(A) Una funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B. L’insieme A è detto dominio della funzione. Codominio Dominio L’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione. A B f(A) Il codominio si indica con f(A) x f y=f(x) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione iniettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi x1,x2A, si ha x1x2 f(x1)f(x2) A B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione suriettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se f(A)=B. A B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione biunivoca Se una funzione f:AB è sia iniettiva che suriettiva si dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se sono verificate le condizioni: A B x1x2 f(x1)f(x2) f(A)=B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzione costante Una funzione f:AB si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine A B Funzione costante Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni numeriche Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni numeriche. Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali AR, B R e i loro elementi vengono chiamati variabili. yB xA, Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni matematiche o analitiche e funzioni empiriche Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche per le quali, a partire da un x del dominio A, l’immagine f(x)=yB si ottiene mediante un numero finito di operazioni matematiche; l’insieme di queste operazioni dà la legge per “costruire” l’immagine y dell’elemento x considerato. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni empiriche Le funzioni empiriche sono funzioni numeriche e non numeriche per le quali l’immagine di un elemento x non è ottenibile con una legge prefissata, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Classificazione delle funzioni analitiche trascendenti Funzioni algebriche Goniometriche Razionali Irrazionali Logaritmiche Intere Fratte Intere Fratte Esponenziali Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Insieme di esistenza Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio. Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione. L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più vasto di R che può essere preso come dominio della funzione. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Grafico di una funzione Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenenti al dominio e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della funzione. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni uguali non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio. Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) xD Le funzioni sono uguali. Le funzioni non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice pari se, xD, f(-x)=f(x). Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Esempio di funzione pari Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, xD, f(-x)=-f(x). Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;-f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Esempio di funzione dispari Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Funzioni pari e funzioni dispari Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove P(x) è un polinomio. La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari. La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Esempio: Funzione né pari né dispari Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Definizione di funzione numerica Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del codominio. x variabile indipendente y variabile dipendente Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) < f (x2). ESEMPIO y = x2 – 4 Funzione non decrescente Se, invece di f (x1) < f (x2), vale Crescente in la funzione è crescente in senso lato o non decrescente. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) > f (x2). ESEMPIO Funzione non crescente Se, invece di f (x1) > f (x2), vale la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Decrescente in Non crescente in R Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LE FUNZIONI PERIODICHE DEFINIZIONE Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT). ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2p perché sen (x) = sen (x + 2kp). y = tg (x) è periodica di periodo p perché tg (x) = tg (x + kp). Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione esponenziale La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica. Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} . Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse x di equazione y=1. Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0,1) Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0<a<1 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Il grafico della funzione y=ax 0<a<1 a>1 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) CASO a>1 y=2x Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. La funzione è monotona crescente La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. l’asse x negativo è l’asintoto della funzione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione y=ax con a>1 al variare di a y=2x y=3x y=4x All’aumentare di a la funzione cresce più rapidamente Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) CASO 0<a<1 Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. La funzione è monotona decrescente La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. l’asse x positivo è l’asintoto della funzione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione y=ax con 0<a<1 al variare di a All’aumentare di a la funzione decresce più rapidamente Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

CONFRONTO DEI GRAFICI y=ax e y= (1/a)x con a>1 y= 2x y=(1/2)x Il grafico della funzione y=ax con a>1 è simmetrico rispetto a quello della funzione y=(1/a)x rispetto all’asse y Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA FUNZIONE ESPONENZIALE In conclusione: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

DEFINIZIONE DI LOGARITMO Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell ‘equazione esponenziale elementare nel caso determinato cioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b . ax =b a= base dell’esponenziale e del logaritmo x= logab Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Proprietà dei logaritmi loga(b*c)=logab+logac loga (b/c)=logab-logac logaan=n*logaa loga loga(1/n)=-logan Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione logaritmica Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo: y=logax , con a>0 ,a≠1 e x La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale Poiché il dominio della funzione è D: XєR+-{0}, il grafico sarà tutto a destra dell’asse y. Poiché per X=1 si ha Y=0 il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (1,0) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Il grafico della funzione y=logax a>1 0<a<1 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

funzione esponenziale CASO a>1 Il dominio è R , il codominio è R+ La funzione è monotona crescente: x1<x2 logax1<logax2 Per x>1, la y assume valori positivi e cresce al crescere della X Per 0<X<1, la Y assume valori negativi grandi in valore assoluto y=0 è l’asintoto della curva La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione y=logax a>1 al variare di a y=log2x y=log4x y=log3x 0,3 -1,74 -0,87 -1,10 0,5 -1,00 -0,50 -0,63 0,8 -0,32 -0,16 -0,20 1 0,00 2 1,00 0,50 0,63 3 1,58 0,79 4 2,00 1,26 5 2,32 1,16 1,46 6 2,58 1,29 1,63 7 2,81 1,40 1,77 8 3,00 1,50 1,89 9 3,17 10 3,32 1,66 2,10 all’aumentare della base a la funzione cresce più lentamente Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

CASO 0<a<1 decrescente Dominio R+ ,codominio R La funzione è monotona decrescente x1<x2↔logax1>logax2 per x >1, la y assume valori negativi e decresce al crescere della x per 0< X<1, la y assume valori positivi e crescenti y=0 è l’asintoto della funzione La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

La funzione y=logax 0<a<1 al variare di a y=log2x y=log4x y=log3x 0,3 -1,74 -0,87 -1,10 0,5 -1,00 -0,50 -0,63 0,8 -0,32 -0,16 -0,20 1 0,00 2 1,00 0,50 0,63 3 1,58 0,79 4 2,00 1,26 5 2,32 1,16 1,46 6 2,58 1,29 1,63 7 2,81 1,40 1,77 8 3,00 1,50 1,89 all’aumentare della base a la funzione decresce più rapidamente Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

CONFRONTO DEI GRAFICI y= logax e con a>0 e a≠1 si può osservare che i grafici risultano simmetrici rispetto all’asse x positivo Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA FUNZIONE LOGARITMICA In conclusione: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

ESPONENZIALE E LOGARITMO A CONFRONTO La funzione è biiettiva da a , quindi è invertibile. Invertendola si ottiene: Pertanto, la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale e i due grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.