I sistemi di equazioni di 1° grado Generalità sui sistemi di equazioni: * soluzioni, forma normale, grado * sistema determinato, indeterminato, impossibile. Metodi di risoluzione: * Metodo di sostituzione * Metodo di riduzione * Matrici e determinanti – Metodo di Cramer Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistemi di due equazioni in due incognite Ogni equazione del tipo ax+by+c=0 o del tipo y=mx+q ha infinite soluzioni e ciascuna di esse è una coppia (x,y) di numeri reali. La scrittura oppure è detta sistema lineare di due equazioni in due incognite ed è l’espressione formale per considerare le soluzioni comuni alle due equazioni. Il sistema è detto lineare perché è costituito da due equazioni di primo grado Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzioni – Forma normale – Grado di un sistema Si chiama soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite x e y, una coppia ordinata di numeri che, sostituiti a x e y, soddisfano simultaneamente entrambe le equazioni. Risolvere un sistema di equazioni in due incognite vuol dire trovare tutte le soluzioni del sistema. Un sistema si dice posto nella forma normale se si può scrivere in questa forma: a x + b y = c a’x + b’y = c’ Il grado di un sistema di equazioni, posto nella forma normale,è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema determinato, indeterminato, impossibile Un sistema nella forma normale: a x + b y = c a’ x + b’ y = c’ si dice: Determinato se ammette un numero finito di soluzioni; questo si verifica se: Impossibile se non ha soluzioni; questo si verifica se: Indeterminato se ammette infinite soluzioni; questo si verifica se: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Metodo di sostituzione Metodo di riduzione Metodo di Cramer METODI DI SOLUZIONI Metodo grafico Metodo del confronto Metodo di sostituzione Metodo di riduzione Metodo di Cramer Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzione grafica Dato che ciascuna equazione è rappresentabile per mezzo di una retta, ricercare le soluzioni di un sistema lineare equivale a determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione delle rette Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzione grafica Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite Se l’insieme delle soluzioni è costituito da un solo elemento, il sistema si dice determinato Le rette che costituiscono il sistema sono incidenti Il punto di intersezione delle due rette incidenti rappresenta la soluzione del sistema Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzione grafica Se l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto, allora il sistema si dice impossibile Le rette che costituiscono il sistema sono parallele e non coincidenti. Non esiste alcun punto del piano che rappresenti l’insieme vuoto delle soluzioni. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzione grafica Se l’insieme delle soluzioni è costituito da infiniti elementi, il sistema si dice indeterminato. Le rette che costituiscono il sistema sono coincidenti L’insieme delle soluzioni è l’insieme di tutti e soli i punti appartenenti alla retta Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Metodo del confronto Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema: Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: e risolverla come un’equazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Metodo di sostituzione Si risolve una delle equazioni rispetto ad un’incognita, ad es. la x; Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della x nell’altra equazione; Si risolve quest’ultima equazione rispetto all’incognita y, determinando il valore di questa incognita; Si sostituisce il valore trovato della y nella espressione contenente la x. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Nel nostro caso appunto la x Rifletti: conviene sempre ricavarti la variabile che ha come coefficiente 1! Nel nostro caso appunto la x Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Metodo di riduzione Si pone il sistema in forma normale Se necessario, si moltiplicano ambo i membri delle due equazioni per numeri, diversi da zero, tali che i coefficienti di una delle incognite, per esempio la x, risultino opposti; Si sommano, membro a membro,le due equazioni ottenute; Si risolve l’equazione ottenuta nella incognita y; Con analogo procedimento si ricava il valore della variabile x. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

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Matrici e determinanti Una matrice è un qualsiasi gruppo di numeri ordinatamente disposti su righe e colonne. Una matrice con il numero delle righe uguale a quello delle colonne si chiama quadrata. Ad ogni matrice quadrata 2X2si può associare un numero, detto determinante, che si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Cioè: Diagonale secondaria Diagonale principale Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Metodo di Cramer I valori delle incognite sono: x = x /  y = y / Poni il sistema nella forma normale Calcola il determinante del sistema Calcola il determinante di x Calcola il determinante di y I valori delle incognite sono: x = x /  y = y / Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Osserva come sono stati calcolati i determinanti! Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Verifica Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conviene ricavare la x in quanto ha coefficiente = 1! Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Moltiplichiamo per -4 la seconda equazione in modo che i coefficienti della x siano opposti! Moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per -3 in modo che i coefficienti della y siano opposti! Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Svolgiamo dapprima i calcoli nelle equazioni separatamente in modo da porre il sistema nella forma normale Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.