LA PARABOLA Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della parabola. Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della parabola con il vertce nell’origine. Sia F (0 ; f ), con f R0 , il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P. Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Osservazioni sul coefficiente a Dall’equazione y = ax2 si deduce che: 1. a > 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso l’alto; a < 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso; Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse). Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

2. All’aumentare del valore assoluto di a, diminuisce l’apertura della parabola e viceversa. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax2 , si ottiene l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate: y = ax2 + bx + c . Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

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Equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse Ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può ottenere mediante una trasformazione simmetrica T, rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

PARABOLE PARTICOLARI Data l’equazione y = ax2 + bx + c : • se b = 0 l’equazione diventa y = ax2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti ax2 + c = a(-x)2 + c ; • se c = 0 l’equazione diventa y = ax2 + bx e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione y = ax2 + bx . Data l’equazione x = ay2 + by + c : • se b = 0 l’equazione diventa x = ay2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse, infatti ay2 + c = a(-y)2 + c ; • se c = 0 l’equazione diventa x = ay2 + by e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione x = ay2 + by . Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

QUESTIONI BASILARI Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi cartesiani. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

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passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ; 2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una parabola. Facendo riferimento all’equazione y = ax2 + bx + c , determinare l’equazione di una parabola significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono le seguenti: • le coordinate del vertice V(xV;yV), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ; • le coordinate del fuoco F(xF;yF), forniscono due condizioni: xF = -b/2a, yF = (1-)/4a ; • conosco l’equazione della direttrice: ydir = -(1+)/4a ; • conosco l’equazione dell’asse di simmetria: xasse = -b/2a ; • condizione di passaggio per un dato punto P(xp ; yp); • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q Se si conoscono le coordinate del Fuoco e l’equazione della direttrice, basta applicare la definizione di parabola come luogo geometrico Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay2+ by + c. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.