L’ENERGIA NEI FLUIDI con applicazioni al sistema circolatorio Teorema di Bernoulli e applicazioni al sistema circolatorio Pressione idrostatica e applicazioni fisiologiche Spinta di Archimede

L’energia nel moto di un liquido h1 Dh h2 v1 v2 S2 S1 DV1 DV2 suolo p2 ® 1 2 l2 p1 Liquido in moto sotto l’azione di: - differenza di pressione - forza peso p1,v1,h1,S1  p2,v2,h2,S2 fluido perfetto (attrito nullo: viscosita’ h=0) condotto rigido moto stazionario (Q=costante  S1v1 = S2v2)

Energia di pressione: EP = p DV l F ® S F = p•S p = F Lavoro compiuto dalla forza di pressione: L = F l = F l = p S l = p DV ® Energia di pressione: EP = p DV Lavoro cardiaco: P = 100 mmHg = (100/760) •105 Pa ~ 1.3 •104 Pa DV = 60 cm3 = 6•10-5 m3 (gittata pulsatoria) L = P DV = (1.3 •104 N/m2)• (6•10-5 m3) = 0.8 J Es.

Teorema di Bernoulli Conservazione dell’energia totale: en.cinetica + en.potenziale + en.pressione = costante Etot = ½ mv12 + mgh1 + p1DV = ½ mv22 + mgh2 + p2DV Energia totale per unità di volume: Etot/DV = ½dv2 + dgh + p = costante Ponendo m=dDV e dividendo per DV: Etot = ½dDVv12 + dDVgh1 + p1DV = ½dDVv22 + dDVgh2 + p2DV DV DV DV DV DV DV DV termine cinetico + potenziale + piezometrico

Sistema circolatorio: diminuzione di pressione Vaso sanguigno a sezione costante (S1=S2) in posizione orizzontale (h1=h2): S1 S2 v1 v2 ® p1 p2 Eq. continuità: Q=Sv1=Sv2=cost.  v1 = v2 = costante p = costante v = costante h = costante BERNOULLI forze di attrito viscoso dissipazione di energia ½dv12 + dgh1 + p1 = ½dv22 + dgh2 + p2 + A p1 = p2 + A p1-p2 = A p2 < p1

Aneurisma e stenosi v1 v2 v1 v2 v2<v1  p2>p1 Vaso sanguigno in posizione orizzontale (h1=h2): Bernoulli  ½dv12 + dgh1 + p1 = ½dv22 + dgh2 + p2 Eq.continuità  Q = S1v1 = S2v2 S2 S1 v1 ® v2 S2 S1 v1 ® v2 ANEURISMA v2<v1  p2>p1 STENOSI v2>v1  p2<p1 Fenomeni irreversibili, tendono a cronicizzare: l’aneurisma tende a espandersi, la stenosi a restringersi

Pressione idrostatica m DS h Su un corpo di massa m immerso in un fluido agisce una pressione dovuta al peso della colonna di liquido di altezza h che sovrasta la sua superficie DS P = F = m’ g = (dV)g = d(DS h)g = dgh DS DS DS DS m’ = massa del liquido, non del corpo immerso!

Effetti fisiologici della pressione idrostatica 170 150 100 110 120 130 140 160 180 80 70 60 50 40 10 20 30 +120 +60 – 60 90 h pv pa (cm) + – pressione venosa pressione arteriosa In posizione eretta, alla pressione sanguigna si aggiunge un fattore di pressione idrostatica (peso del sangue) Aumento di pressione a livello dei piedi: distanza cuore-piedi ~ 1 m; dsangue ~ dacqua P = dgh = (103 kg/m3)•(9.8 m/s2)• (1 m) = 9800 Pa = 9800 • (760/101200) mmHg = 74 mmHg (non trascurabile!) Es. ritorno venoso circolazione cerebrale

Principio di isotropia: Spinta di Archimede S V=SDh h1 h2 F2 F1  Dh Principio di isotropia: la pressione in un punto di un fluido non dipende dall’orientazione della superficie Corpo immerso in un liquido  due pressioni diverse: sulla superficie superiore P1=dgh1  sulla superficie inferiore P2=dgh2   h2>h1  P2>P1 Forza risultante verso l’alto: F = F2-F1 = (P2-P1)S = (dgDh)S = dgV = g dV = m g peso del liquido “spostato”, non del corpo immerso!