UNITÀ DI INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO Uno studio relativo al “FIOCCO DI NEVE” di Koch Contesto in cui è stata prodotta: Ricerca azione: Metodi per lo studio dei frattali promossa dall'OPPI, Organizzazione per la Preparazione Professionale degli Insegnanti, 2004-05 Destinatari: Classe IV B, scuola primaria “Giuseppe Garibaldi” di Genova, Anno Scolastico 2004/2005 Docente coinvolto: Ivana Niccolai A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai RIFERIMENTI TEORICI “PENTOLE, OMBRE, FORMICHE – In viaggio con la matematica” di Emma Castelnuovo, ed. La Nuova Italia “LA MATEMATICA DEL NOVECENTO – Dagli insiemi alla complessità” di Piergiorgio Odifreddi, Piccola Biblioteca Einaudi, 2000 http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/odifreddi/lamatematica.htm “C’ERA UNA VOLTA UN PARADOSSO – Storie di illusioni e verità rovesciate” di Piergiorgio Odifreddi, Grandi Tascabili Einaudi, 2001 http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/odifreddi/paradosso.htm “SPAZIO IPERSPAZI FRATTALI – Il magico mondo della geometria” di Giuseppe Arcidiacono, Di Renzo Editore, Prima Ristampa 2004 http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/ARCIDIACONO.htm A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai OBIETTIVI SAPERE: Conoscere la curva di Koch e comprendere il concetto di frattale SAPER FARE: Imparare a usare il linguaggio LOGO e il software FRACTINT, per realizzare i vari stadi della costruzione del “fiocco di neve” di Koch e saper eseguire opportuni calcoli; saper ricercare informazioni varie in Internet (utilizzando la sitografia predisposta dall’insegnante) SAPER ESSERE: Acquisire sicurezza e disinvoltura nell’esprimere, in forma di dimostrazione e di recitazione, i concetti appresi; saper collaborare proficuamente con i compagni A cura di Ivana Niccolai

ARTICOLAZIONE DELL’APPRENDIMENTO Presentazione del fiocco di neve di Koch, tramite lezione frontale e, successiva ricerca, in Internet, ( utilizzando la sitografia stabilita dall’insegnante) di informazioni storiche e musicali, utili per il lavoro da svolgere Studio della poesia “Qual è la dimensione del fiocco di neve?” (appositamente scritta da Grazia Raffa e Ivana Niccolai) Realizzazione con il programma LOGO e con il software FRACTINT delle varie figure geometriche prese in considerazione Esecuzione di calcoli precisi per la preparazione di una tabella relativa ai vari stadi della costruzione del “fiocco di neve” di Koch, traendo le opportune conclusioni A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai DISCIPLINE COINVOLTE Matematica: per lo studio della geometria frattale; Informatica: per la costruzione delle figure geometriche, utilizzando il programma logo e il software fractint; Italiano: per saper riferire, in forma chiara e corretta, ogni procedimento seguito; Storia: per ricercare informazioni inerenti al matematico Nils Fabien Helge von Koch (1870 – 1924) nelle pagine web, opportunamente scelte dall’insegnante; Educazione musicale: per ricercare in Internet (nelle pagine web scelte dall’insegnante) musica “frattale” e “non frattale”, ritenuta adeguata all’argomento trattato; Educazione all’immagine: per preparare un cartellone murale, relativo all’argomento studiato; Educazione alla convivenza civile: per saper collaborare proficuamente con i compagni nei lavori di gruppo. A cura di Ivana Niccolai

POESIA 1/9 “QUAL È LA DIMENSIONE DEL FIOCCO DI NEVE DI KOCH?” di Grazia Raffa e Ivana Niccolai (Ringrazio moltissimo Grazia Raffa, che ha collaborato con me, per rendere poetica e particolarmente piacevole una lezione matematica) A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 2/9 Da un triangolo si parte con i lati uguali ad arte; ogni lato in tre segmenti si divide, “equivalenti”. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 3/9 Un segmento in ogni lato poi nel centro vien levato. Fatto ciò, si forma stella, con sei punte, molto bella, sostituendo, ai segmenti, dei triangoli “carenti”. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 4/9 Poi, con un calcolatore, si ripete anche per ore… Riflettiamo che il costruito ha un modello stabilito: che da sempre sostituisce quattro a tre, quindi arricchisce. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 5/9 Tre e quattro, qui abbinati, in che modo son legati? Tre, pensato alla seconda, porta a nove, cifra tonda, che è di quattro ben maggiore, di sicuro, non ci piove; mentre tre, quel poverino, è di quattro più piccino. A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 6/9 Quindi un numero, che è “d”, va cercato lì per lì: tre alla d, a quattro uguale, qui risulta tal e quale e il “d” con emozione qui si chiama dimensione della curva, detta in breve (ma che gel!) “fiocco di neve”; A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 7/9 questa fredda dimensione osserviam con attenzione: decimal tra uno e due resta sempre sulle sue; più di uno ha dimensione, ma di due è in defezione: non ricoprirà il quadrato, perché al due non è arrivato… A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 8/9 È un esempio niente male della curva ch’è frattale; per saper come si ottiene, “frattalare” qui conviene, ripetendo all’infinito tutto ciò che s’è costruito.   A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai POESIA 9/9 La “foresta” del frattale non è simbolo di male, bensì quello d’avventura sulla strada di cultura.   A cura di Ivana Niccolai

Dimensione della curva di Koch Utilizzando,ad esempio, Excel, si può calcolare la dimensione “d” della curva frattale di von Koch: d = 1,2618595071… A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai TABELLA di osservazione dei vari stadi della costruzione del “fiocco di neve” di Koch “PUNTE esterne” che si aggiungono di volta in volta “PUNTE esterne” totali della figura MISURA DEL LATO della figura LATI totali della figura PERIMETRO della figura STADIO ZERO: PARTENZA 3 1 PRIMO STADIO: 3 3 + 3 = 6 1/3 12 1/3 * 12 = 4 (4/3 * 3 = 4) SECONDO STADIO: 12 Ecc… 12 + 6 = 18 1/9 48 1/9 * 48 =16/3 (4/3 * 4 =16/3) A cura di Ivana Niccolai

METODI, TEMPI, SOLUZIONI ORGANIZZATIVE Metodo ludico-euristico, tenendo nella dovuta considerazione anche la componente dell’imprevisto nella didattica (mi riferisco alla cosiddetta “serendipity”) Si stabiliscono due ore la settimana, per un totale di 14 ore Lavori individuali e di gruppo in aula e nel laboratorio d’informatica A cura di Ivana Niccolai

A cura di Ivana Niccolai ATTIVITÀ DI VERIFICA Compilazione, da parte di ogni alunno, di un questionario, comprendente, tra l’altro, le seguenti frasi da completare: Studiando il fiocco di neve di Koch ho imparato che un frattale è … Ho eseguito le seguenti costruzioni con il logo: … e con fractint:… usando queste procedure: … Insieme con i compagni (scrivi il loro nome): … ho preparato la seguente tabella, osservando attentamente i vari stadi della costruzione del “fiocco di neve”: … A cura di Ivana Niccolai

ATTIVITÀ DI AUTOVALUTAZIONE Compilazione, da parte di ogni alunno, di un questionario, predisposto dall’insegnante, comprendente, tra l’altro, le seguenti domande: Hai incontrato difficoltà nello studio del “fiocco di neve” di Koch? Quali? Ti occorrono altre spiegazioni dell’insegnante, per capire l’argomento affrontato? Quali? Hai usato volentieri il logo e fractint? Sapresti utilizzare da solo tali programmi? Hai collaborato volentieri con i compagni, nel lavoro di gruppo? (Se sono nati disaccordi, spiegane i motivi) Quale tra questi giudizi: Sufficiente, Buono, Distinto, Ottimo, ritieni di meritare, in base all’impegno speso e alle conoscenze apprese? A cura di Ivana Niccolai