Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi

Definizioni Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizioni Vediamo cosa significa definire Definire : determinare il contenuto di un concetto, dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa, in modo da distinguerla nettamente da un’altra

Analizziamo “dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa” Una definizione deve essere: breve (non può essere resa tramite esempi e deve avere il minor numero di termini possibili) essenziale (al suo interno non deve contenere termini superflui o che la abbelliscono) precisa: non può essere adatta a due o più cose ma solo ad una In pratica per ottenere il massimo punteggio dovete rispettare queste regole e questo non è affatto semplice

Es. definizione di quadrato Analizziamo le seguenti definizioni: Il quadrato è un quadrilatero Il quadrato è un poligono con tutti i lati uguali Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini superflui ma nessuna di esse è pertinente Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due è precisa (la prima va bene anche per rettangolo, parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni equilateri, la valutazione va sotto la sufficienza)

La terza definizione combina le prime due entrambe parzialmente vere pertanto ha un contenuto informativo maggiore, continua ad essere breve e ad utilizzare parole precise ma continua ad essere adatta a più cose Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il punteggio massimo Le seguenti due figure sono entrambe ben descritte dalla nostra proposizione

Definizione scientifica La definizione scientifica e sicuramente più complessa di una definizione normale perché utilizza un linguaggio specifico Un linguaggio si dice specifico se appartiene ad una particolare disciplina La prossima diapositiva vi mostrerà diverse definizioni di quadrato, tutte corrette ma la cui valutazione può essere differente

Definizione di quadrato Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i lati uguali (punteggio 8 ½) Quadrilatero angolo e lato fanno parte del linguaggio specifico della disciplina Omettere le parole è un quadrilatero e inserire “poligono che ha quattro lati uguali e quattro angoli retti” porta ad una definizione che manca del carattere di brevità (punteggio 8)

Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i lati congruenti (punteggio 9) La parola congruente appartiene al linguaggio specifico della geometria perciò la definizione ha un utilizzo migliore del linguaggio specifico Il quadrato è un quadrilatero equilatero ed equiangolo (punteggio 10) C’è un uso preciso del linguaggio specifico e una definizione più breve equilatero equiangolo

quadrilatero regolare Se l’insegnante ha spiegato i poligoni regolari (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed equiangoli) allora la definizione giusta per ottenere il massimo punteggio è: Il quadrato è un quadrilatero regolare

Definizione di postulato Dal dizionario della Treccani postulato dal lat. postulatum «ciò che è richiesto; richiesta» Proposizione che, senza essere evidente né dimostrata, si assume come fondamento di una dimostrazione o di una teoria i postulati fanno riferimento ad una materia particolare

Definizione di assioma L’assioma è un principio certo ed evidente senza ulteriori indagini che costituisce la base per ulteriori ricerche Gli assiomi hanno una validità più generale dei postulati e sono alla base di più discipline

I postulati di Euclide Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la sua struttura. 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è possibile descrivere un cerchio. 4 Tutti gli angoli retti sono uguali. 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

Primo postulato È evidente che qualsiasi altra retta non passerà per i due punti Punto A Punto B Retta r

Terzo postulato Punto A (centro) Per definire un circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio Circonferenza Lunghezza

Gli assiomi Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro. A = B B = C  A = C [proprietà transitiva] Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. Cose che coincidono tra loro sono uguali. A = B B = A [proprietà riflessiva] Il tutto è maggiore della parte.

Metodo assiomatico deduttivo … roba da panico!!!!!! Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa domanda …. “ma che roba è …” L’unica speranza risiede nel vocabolario Metodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano prestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungere Assiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri senza dimostrazione perché evidenti Deduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del suo sviluppo

euclidea fa uso del metodo assiomatico-deduttivo perché partendo La geometria euclidea fa uso del metodo assiomatico-deduttivo perché partendo dagli enti geometri fondamentali (3) e dai postulati (5), riesce a dimostrare, col puro ragionamento, tutto il resto utilizzando proposizioni già dimostrate