Progetto lauree scientifiche Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano

Poligoni regolari e circonferenze 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta) Sarà vero anche per il problema inverso? Il problema ha sempre soluzione!

Poligoni regolari e circonferenze 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto) Cosa sentono le mie orecchie! Ci sono poligoni regolari che non si possono costruire con R & C ! Carl F. Gauss 1777-1855 Ad esempio il 7-gono!

Poligoni regolari e circonferenze RIEPILOGANDO: 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta) 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto) Il 1° problema ammette sempre soluzione. Il 2° problema no. Ne riparleremo la prossima volta. Per ora fidatevi di Gauss.

Prime costruzioni Partiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C. Provate voi!

Prime costruzioni Ora, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono, ... ? Basta dimezzare!

Prime costruzioni Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1: Se il k-gono regolare è costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2nk-goni per ogni n>0.

Prime costruzioni Non è difficile ricavare anche una seconda proprietà: Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n. Ad esempio il 30-gono: 30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori. Unendo i suoi vertici uno ogni 10 otteniamo un 3-gono 6 otteniamo un 5-gono 3 otteniamo un 10-gono 2 otteniamo un 15-gono 5 otteniamo un 6-gono

Ve la farò nella prossima lezione! Il pentadecagono Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C. Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi. Ve la farò nella prossima lezione! Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla già... La costruzione del 3-gono la sappiamo fare! Oddio... Euclideee!

Il pentadecagono In una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetterà di costruire il 15-gono regolare. Provate voi! come?

Il pentadecagono “Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, l’arco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di cinque (archi) mentre l’arco AB, essendo un quinto della circonferenza, verrà a constare di tre. Quindi l’arco BC che rimane consterà di due di quei quindici archi. Si divida l’arco BC per metà in M. Ciascuno dei due archi BM ed MC è perciò 1/15 della circonferenza.” Dagli Elementi di Euclide - Libro IV

Il pentadecagono Poiché 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , l’arco BM si ricava bisecando l’arco BC ottenuto dalla differenza tra l’arco AC e l’arco AB.

Il pentadecagono Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato: ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dell’equazione: Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, l’arco cercato può essere ottenuto come differenza tra l’arco che sottende due lati del pentagono e l’arco che sottende il lato del triangolo.

Il 51-gono regolare Il “metodo” usato per costruire il (3x5)-gono regolare, può essere applicato anche ad altri casi. Provate a costruire il (3x17)-gono regolare! Ehi… ma il 17-gono chi me lo dà?

Approfondimento Il “metodo” generale usato consiste in questo. Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti. Tanti (x) archi da 1/m x/m sottratti a tanti (y) archi da 1/n y/n devono dare un arco da 1/mn 1/mn Tradotto in equazione: dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto.

E’ un’equazione diofantea! Approfondimento L’equazione si riscrive: (*) P. de Fermat 1601-1665 Anche quelle del mio ultimo teorema! Attenzione: cerchiamo le soluzioni intere! Pitagora 571-496 aC Anche quella delle mie terne pitagoriche! E’ un’equazione diofantea!

Perché non può essere che... Approfondimento Attenzione: non sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio: non ha soluzioni intere. Perché non può essere che... Perché? ovvero con x e y interi!

Non è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo. Andate a leggere il Approfondimento In generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora l’equazione non ammette una soluzione intera. Non è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo. Andate a leggere il mio libro VII. E’ vero anche il viceversa!

Approfondimento Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore proprietà: Proprietà 3 Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.